Applicazione lineare: diagonalizzazione

[Smoke666]

Ciao a tutti, ho qualche dubbio che vorrei chiarire con voi riguardo alla diagonalizzazione di un'applicazione lineare. Ad esempio sto incontrando parecchie difficoltà con questo esercizio:

" Sia \(\displaystyle T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 \) l'applicazione lineare definita da:
\(\displaystyle T(x,y,z) = (2x+y+z, y-z, 2y+4z) \) . Dire se è diagonalizzabile e, nel caso lo sia, definire una base di autovettori e la matrice associata a T rispetto a tale base. "

Dunque, trovo facilmente la matrice associata:

\(\displaystyle \begin{bmatrix}
2 & 1 & 1\\
0 & -1 & -1\\
0 & 2 & 4
\end{bmatrix} \) \(\displaystyle = A \)

calcolo il polinomio caratteristico e gli autovalori:
\(\displaystyle p(x) = (2-x)(x^2-5x+6) \)
\(\displaystyle x_1 = 2 , x_2 = 2 , x_3 = 3 \)
Tre autovalori distinti, l'applicazione è diagonalizzabile.

Inizio ora con il calcolare gli autovettori relativi agli autovalori:

\(\displaystyle A -2I = \) \(\displaystyle \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1\\
0 & -1 & -1\\
0 & 2 & 2
\end{bmatrix} \)

da cui ne deriva che, avendo rango = 1, avrò 2 variabili libere per il sistema associato. La soluzione sarà dunque:
\(\displaystyle <\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}> \)

\(\displaystyle A - 3I = \) \(\displaystyle \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 1\\
0 & -2 & -1\\
0 & 2 & 1
\end{bmatrix} \)

rango = 2, una sola variabile libera, da cui la soluzione:
\(\displaystyle <
\begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
1
\end{pmatrix}
> \)

Dunque la matrice diagonale dovrà essere:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} \) \(\displaystyle = S \)

Fino a qui ero ragionevolmente convinto di ciò che stavo facendo, ma poi, per verifica, ho moltiplicato le matrici ottenute per ritornare alla matrice di partenza. Ho eseguito i calcoli con un calcolatore online, facendo:

\(\displaystyle J = \)\(\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & -1 & -2\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \)

\(\displaystyle J * S * J^{-1} \)
Che risulta totalmente errato! Non capisco dove abbia potuto compiere errori, ho ricontrollato mille volte i calcoli, ma non riesco a venirne a capo! Chiedo aiuto a voi!

Grazie in anticipo!

[vict85]

"Smoke666":calcolo il polinomio caratteristico e gli autovalori:
\(\displaystyle p(x) = (2-x)(x^2-5x+6) \)
\(\displaystyle x_1 = 2 , x_2 = 2 , x_3 = 3 \)
Tre autovalori distinti, l'applicazione è diagonalizzabile.

Non ho fatto i calcoli ma \(\displaystyle \{2,2,3\} \) non mi sembrano 3 valori distinti.

[Smoke666]

Hai ragione, ho scritto una cavolata Però il proseguo dell'esercizio non cambia, in quanto la molteplicità geometrica è uguale a quella algebrica, come dimostrato poco sotto.. Ho scritto una cosa, e ne ho fatta un'altra

Però non credo sia quello il problema...

[Cuspide83]

L'applicazione è definita dalla seguente matrice di ordine \(3\)

\[T=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix}\]
Il polinomio associato a tale matrice è

\[p(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(3-\lambda)\]
quindi le sue radici \(\lambda_{1}=2, \lambda_{2}=3\) hanno rispettivamente molteplicità algebrica \(\mu_{1}=2, \mu_{2}=1\). Le molteplicità geometriche sono invece rispettivamente \(\sigma_{1}=2, \sigma_{2}=1\), e due basi per i relativi autospazi sono

\[\{(1,1,0),(-2,0,1)\}\hspace{2 cm}\{(0,1,1)\}\]
ovvero

\[J=\begin{bmatrix}1&-2&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}\hspace{2 cm}J^{-1}=\begin{bmatrix}-1&2&-2\\-1&1&-1\\1&-1&2\end{bmatrix}\]
ovvero ancora

\[J^{-1}T\ J=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}\]

[Smoke666]

Dunque ho commesso un qualche errore nel calcolo degli autovettori, confrontando le nostre versioni... Ricontrollerò! Grazie per l'aiuto!

[Cuspide83]