Applicazione lineare data da un prodotto vettore
Ho un problema con questo esercizio:
Sia $u=e_1-e_2+e_3$ $in RR^3$
Data l'applicazione lineare $T: RR^3rarrRR^3 $data da $T(x)=xwedgeu$,devo determinare $KerT $ e $ImT$ dando per entrambi eq.parametriche e cartesiane e infine trovare la matrice associata a $T$ rispetto ad una base di $RR^3$ a scelta.
Come inizio?non capisco come rappresentare $T(x)=xwedgeu$
Forse così?
$((e_1,x_1,e_1),(e_2,x_2,-e_2),(e_3,x_3,e_3))$
Ma poi?
Sia $u=e_1-e_2+e_3$ $in RR^3$
Data l'applicazione lineare $T: RR^3rarrRR^3 $data da $T(x)=xwedgeu$,devo determinare $KerT $ e $ImT$ dando per entrambi eq.parametriche e cartesiane e infine trovare la matrice associata a $T$ rispetto ad una base di $RR^3$ a scelta.
Come inizio?non capisco come rappresentare $T(x)=xwedgeu$
Forse così?
$((e_1,x_1,e_1),(e_2,x_2,-e_2),(e_3,x_3,e_3))$
Ma poi?
Risposte
Ciao, perdona la mia domanda, ma i vettori $ e_1,e_2,e_3 $ sono i vettori di una base di $ R^3 $ oppure sono vettori generici a caso?
"perplesso":
Ciao, perdona la mia domanda, ma i vettori $ e_1,e_2,e_3 $ sono i vettori di una base di $ R^3 $ oppure sono vettori generici a caso?
Il testo non specifica nulla ,suppongo non lo sia.
Qualche idea?
Beh per il kernel, siccome un prodotto vettoriale è nullo se e solo se i due vettori sono paralleli, secondo me nel kerT ci stanno tutti i vettori paralleli a $ u $ e quindi $ dim(kerT)=1 $, di conseguenza $ dim(ImT)=3-1=2 $ Per il resto, così su due piedi non saprei aiutarti...
"perplesso":
Beh per il kernel, siccome un prodotto vettoriale è nullo se e solo se i due vettori sono paralleli, secondo me nel kerT ci stanno tutti i vettori paralleli a $ u $ e quindi $ dim(kerT)=1 $, di conseguenza $ dim(ImT)=3-1=2 $ Per il resto, così su due piedi non saprei aiutarti...
Potrebbe essere,si.
Per il resto dell' esercizio?
Determinare KerT e ImT dando per entrambi eq.parametriche e cartesiane e infine trovare la matrice associata a T rispetto ad una base di R3 a scelta.
C'è qualcuno che puo aiutarmi?grazie
"perplesso":
...i vettori $ e_1,e_2,e_3 $ sono i vettori di una base di $ R^3 $ oppure sono vettori generici a caso?
Dovrebbe trattarsi della base naturale. Quindi:
$[u=e_1-e_2+e_3] rarr [u=(1,-1,1)]$
$[x^^u=(x_1,x_2,x_3)^^(1,-1,1)] rarr [x^^u=(x_2+x_3,-x_1+x_3,-x_1-x_2)]$
"speculor":
[quote="perplesso"]
...i vettori $ e_1,e_2,e_3 $ sono i vettori di una base di $ R^3 $ oppure sono vettori generici a caso?
Dovrebbe trattarsi della base naturale.[/quote]
Anche io penso che si debba trattare di una base, altrimenti non mi spiego l'utilità di fornire $ u $ scritto in quel modo. Se è la base canonica diventa tutto più facile, se invece si tratta di una base qualsiasi, l'esercizio diventa un pò più interessante no?
"perplesso":
Anche io penso che si debba trattare di una base, altrimenti non mi spiego l'utilità di fornire $u$ scritto in quel modo. Se è la base canonica diventa tutto più facile, se invece si tratta di una base qualsiasi, l'esercizio diventa un pò più interessante no?
Hai senz'altro ragione. Tuttavia, una delle notazioni più utilizzate per rappresentare la base naturale è proprio quella. Inoltre, non credo che la difficoltà dell'esercizio volesse superare quella dell'interpretazione da me proposta. In ogni modo, chi vivrà vedrà.
"speculor":
[quote="perplesso"]
...i vettori $ e_1,e_2,e_3 $ sono i vettori di una base di $ R^3 $ oppure sono vettori generici a caso?
Dovrebbe trattarsi della base naturale. Quindi:
$[u=e_1-e_2+e_3] rarr [u=(1,-1,1)]$
$[x^^u=(x_1,x_2,x_3)^^(1,-1,1)] rarr [x^^u=(x_2+x_3,-x_1+x_3,-x_1-x_2)]$[/quote]
quindi $dim KerT$ lo trovo ponendo
$\{(x_2+x_3 = 0),(x_1-x_3 = 0),(-x_1-x_2= 0):}$ giusto?
e poi le euqazioni cartesiane e parametriche?e la matrice associata?
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