Applicazione lineare con polinomi! uff...
Ciao a tutti, mi trovo a risolvere un quesito in cui ci sono dei polinomi:
dato lo spazio vettoriale:
$V={(x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4 : 2x - 3y+w=0, 2x-y=-z}$
Determinare un'applicazione lineare $f:\mathbb{R}^4->\mathbb{R}_(<=2)[t]$ tale che il suo nucleo sia $V$ e la sua immagine contenga il polinomio $t^2-5$
Partiamo trasformando $V$ in vettori:
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
2x-3y+w=0\\
2x-y=-z\\
\end{array}
\right.
=>
\left\{
\begin{array}{l}
x=t\\
y=s\\
z=-2t+s\\
w=-2t+3s\\
\end{array}
\right.[/tex]
ottengo i vettori di $V=<(1,0,-2,-2),(0,1,1,3)>$
Ora dovrei trovare l'applicazione lineare(escludo per ora che l'immagine contenga $t^2-5$):
dovrò avere una matrice 4*4 con rango 2 che moltiplicherà i vettori di $V$ e pongo questo prodotto $=0$:
$((a,b,c,d),(e,f,g,h),(0,0,0,0),(0,0,0,0))*((1,0),(0,1),(-2,1),(-2,3))=((0,0),(0,0),(0,0),(0,0))$
Sto procedendo nel modo corretto? Come faccio a ficcarci $t^2-5$ nell'immagine??
dato lo spazio vettoriale:
$V={(x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4 : 2x - 3y+w=0, 2x-y=-z}$
Determinare un'applicazione lineare $f:\mathbb{R}^4->\mathbb{R}_(<=2)[t]$ tale che il suo nucleo sia $V$ e la sua immagine contenga il polinomio $t^2-5$
Partiamo trasformando $V$ in vettori:
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
2x-3y+w=0\\
2x-y=-z\\
\end{array}
\right.
=>
\left\{
\begin{array}{l}
x=t\\
y=s\\
z=-2t+s\\
w=-2t+3s\\
\end{array}
\right.[/tex]
ottengo i vettori di $V=<(1,0,-2,-2),(0,1,1,3)>$
Ora dovrei trovare l'applicazione lineare(escludo per ora che l'immagine contenga $t^2-5$):
dovrò avere una matrice 4*4 con rango 2 che moltiplicherà i vettori di $V$ e pongo questo prodotto $=0$:
$((a,b,c,d),(e,f,g,h),(0,0,0,0),(0,0,0,0))*((1,0),(0,1),(-2,1),(-2,3))=((0,0),(0,0),(0,0),(0,0))$
Sto procedendo nel modo corretto? Come faccio a ficcarci $t^2-5$ nell'immagine??
Risposte
scusa, ma perche' la matrice e' 4 per 4 se lo spazio di arrivo ha dimensione 3?
Hai pienamente ragione...dopo averci pensato a lungo oggi 
, penso di avere la soluzione...
veniamo al dunque:
ho i vettori di $V=<(1,0-2,-2),(0,1,1,3)>$
costruisco il mio "prototipo" di matrice associata all'applicazione $f$ che come dicevi tu non puo' avere 4 righe in quanto lo spazio di arrivo è 3 ($\mathbb{R}_2[t]$), la moltiplico per la matrice dei vettori di $V$ e pongo il tutto uguale alla matrice nulla (i vettori di $V$ devono essere il nucleo, come richiesto):
$((a,b,c,1),(d,e,f,0),(g,h,i,-5))*((1,0),(0,1),(-2,1),(-2,3))=((0,0),(0,0),(0,0))$
già che c'ero, ci ho messo nell'immagine $t^2-5=(1,0,-5)$..
faccio un mega sistema per trovarmi i valori della matrice:
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
a-2c-2=0\\
d-2f=0\\
g-2i+10=0\\
b+c+3=0\\
e+f=0\\
h+i-15=0
\end{array}
\right.[/tex]
risolvo ottenendo:
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
a=2+c\\
b=-3-c\\
c=c \in \mathbb{R}\\
d=2f\\
e=-f\\
f=f \in \mathbb{R}\\
g=20+2h\\
h=h \in \mathbb{R}\\
i=15-h
\end{array}
\right.[/tex]
ecco qui che ho ottenuto la mia bella matrice che volevo tanto:
$(((2+c),(-3-c),c,1),(2f,-f,f,0),((20-2h),h,(15-h),-5)) \ \forall c,f,h \in \mathbb{R}$
sul punto $ \forall c,f,h \in \mathbb{R} $ ho qualche dubbio, quindi ditemi se sbaglio!
Ora che ho tutto quanto, faccio una prova per assicurarmi che i calcoli non siano sbagliati:
pongo $c,f,h=0$ per cui:
$((2,-3,0,1),(0,0,0,0),(20,0,15,-5))*((1,0),(0,1),(-2,1),(-2,3))=((0,0),(0,0),(0,0))$
proprio quello che volevo!(spero)
concludo scrivendo l'applicazione richiesta:
$T(x,y,z,w)={c,f,h\in R | [(2+c)x - (3+c)y + cz + w]t^2 +(2fx-fy+zf)t + (20-2h)x +hy+(15-h)z -5w}$
, penso di avere la soluzione...veniamo al dunque:
ho i vettori di $V=<(1,0-2,-2),(0,1,1,3)>$
costruisco il mio "prototipo" di matrice associata all'applicazione $f$ che come dicevi tu non puo' avere 4 righe in quanto lo spazio di arrivo è 3 ($\mathbb{R}_2[t]$), la moltiplico per la matrice dei vettori di $V$ e pongo il tutto uguale alla matrice nulla (i vettori di $V$ devono essere il nucleo, come richiesto):
$((a,b,c,1),(d,e,f,0),(g,h,i,-5))*((1,0),(0,1),(-2,1),(-2,3))=((0,0),(0,0),(0,0))$
già che c'ero, ci ho messo nell'immagine $t^2-5=(1,0,-5)$..
faccio un mega sistema per trovarmi i valori della matrice:
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
a-2c-2=0\\
d-2f=0\\
g-2i+10=0\\
b+c+3=0\\
e+f=0\\
h+i-15=0
\end{array}
\right.[/tex]
risolvo ottenendo:
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
a=2+c\\
b=-3-c\\
c=c \in \mathbb{R}\\
d=2f\\
e=-f\\
f=f \in \mathbb{R}\\
g=20+2h\\
h=h \in \mathbb{R}\\
i=15-h
\end{array}
\right.[/tex]
ecco qui che ho ottenuto la mia bella matrice che volevo tanto:
$(((2+c),(-3-c),c,1),(2f,-f,f,0),((20-2h),h,(15-h),-5)) \ \forall c,f,h \in \mathbb{R}$
sul punto $ \forall c,f,h \in \mathbb{R} $ ho qualche dubbio, quindi ditemi se sbaglio!
Ora che ho tutto quanto, faccio una prova per assicurarmi che i calcoli non siano sbagliati:
pongo $c,f,h=0$ per cui:
$((2,-3,0,1),(0,0,0,0),(20,0,15,-5))*((1,0),(0,1),(-2,1),(-2,3))=((0,0),(0,0),(0,0))$
proprio quello che volevo!(spero)
concludo scrivendo l'applicazione richiesta:
$T(x,y,z,w)={c,f,h\in R | [(2+c)x - (3+c)y + cz + w]t^2 +(2fx-fy+zf)t + (20-2h)x +hy+(15-h)z -5w}$
l'impostazione e' giusta, ma effettivamente c'e' qualche problema alla fine.
A parte che la formula e' troncata, comunque quello che hai ottenuto e' una famiglia di applicazioni lineari (giustamente perche' hai tre condizioni su uno spazio di dimensione 4) e quindi dovresti dire: per ogni $c,f,h\in\mathbb R$ ho una applicazione lineare che soddisfa le proprieta' richieste..
A parte che la formula e' troncata, comunque quello che hai ottenuto e' una famiglia di applicazioni lineari (giustamente perche' hai tre condizioni su uno spazio di dimensione 4) e quindi dovresti dire: per ogni $c,f,h\in\mathbb R$ ho una applicazione lineare che soddisfa le proprieta' richieste..
Ok quindi ho una famiglia di applicazioni lineari $\forall c,f,h \in \mathbb{R}$ tali che:
$T(x,y,z,w)=$
${c,f,h\in R | [(2+c)x - (3+c)y + cz + w]t^2 +(2fx-fy+zf)t + (20-2h)x +hy+(15-h)z -5w}$
$T(x,y,z,w)=$
${c,f,h\in R | [(2+c)x - (3+c)y + cz + w]t^2 +(2fx-fy+zf)t + (20-2h)x +hy+(15-h)z -5w}$
non si scrive cosi: Ogni $c,f,h\in\mathbb R$ definisce una applicazione lineare verificante le condizioni richieste
$T(x,y,z,w)=(2+c)x...$ eccetera
$T(x,y,z,w)=(2+c)x...$ eccetera
Quello che volevo dire è che per ogni combinazione di $c,f,h \in \mathbb{R}$ esiste un'applicazione lineare....
"davymartu":
Quello che volevo dire è che per ogni combinazione di $c,f,h \in \mathbb{R}$ esiste un'applicazione lineare....
ok, ci credo, ma in quella maniera e' formalmente scritta male. Se consegni un esame con quella soluzione lo considerano sbagliato (almeno parzialmente).
Scusa, ma per fare chiarezza, mi dici come dovrei scriverla?
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