Applicazione lineare con polinomi
Salve a tutti!
Mi rivolgo a voi per un problemino con le applicazioni lineari fra spazi di polinomi. L'esercizio riguarda un'applicazione lineare
$ F:V->mathbb(K) ^4 $ con $ V=mathbb([K]) <=3 $ definita come $ F(p(X))=(p(0),p(1),P(2),p(3)) $ rispetto alla base $ B={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $ . Devo scrivere la matrice associata a F.
Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base. Ho scritto $ p(X)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 $ e valutando in 0,1,2,3. Mi viene fuori la matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1, 1 , 1 ),( 1 , 2 , 4 , 8 ),( 1 , 3 , 9 ,27 ) ) $ e poi ne calcolo l'inversa. Sto procedendo bene?
Vi ringrazio in anticipo
Mi rivolgo a voi per un problemino con le applicazioni lineari fra spazi di polinomi. L'esercizio riguarda un'applicazione lineare
$ F:V->mathbb(K) ^4 $ con $ V=mathbb([K]) <=3 $ definita come $ F(p(X))=(p(0),p(1),P(2),p(3)) $ rispetto alla base $ B={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $ . Devo scrivere la matrice associata a F.
Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base. Ho scritto $ p(X)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 $ e valutando in 0,1,2,3. Mi viene fuori la matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1, 1 , 1 ),( 1 , 2 , 4 , 8 ),( 1 , 3 , 9 ,27 ) ) $ e poi ne calcolo l'inversa. Sto procedendo bene?
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Non capìto un piccolo ma grosso particolare: \(\displaystyle\mathbb{V}\) è lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti nel campo \(\displaystyle\mathbb{K}\) di grado \(\displaystyle d\leq 3\)?
Si, scusami, me lo sono mangiato!
"Milenix":
Sto procedendo bene?
Dipende...
cosa devi trovare/dimostrare? 
"Magma":
[quote="Milenix"] Sto procedendo bene?
Dipende...
cosa devi trovare/dimostrare? [/quote]devo scrivere la matrice associata rispetto a quella base.
"Milenix":
Salve a tutti!
Mi rivolgo a voi per un problemino con le applicazioni lineari fra spazi di polinomi. L'esercizio riguarda un'applicazione lineare
$ F:V->mathbb(K) ^4 $ con $ V=mathbb([K]) <=3 $ definita come $ F(p(X))=(p(0),p(1),P(2),p(3)) $ rispetto alla base $ B={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $ . Devo scrivere la matrice associata a F.
Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base. Ho scritto $ p(X)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 $ e valutando in 0,1,2,3. Mi viene fuori la matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1, 1 , 1 ),( 1 , 2 , 4 , 8 ),( 1 , 3 , 9 ,27 ) ) $ e poi ne calcolo l'inversa. Sto procedendo bene?
Vi ringrazio in anticipo
In pratica ho scritto la matrice costituita dagli elementi della base $ mathbb(B) $ che mi viene $ mathbb(( ( 1, 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , -3 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) ) $ la cui inversa è $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 3 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ . Poi faccio il prodotto fra l'inversa, A e la matricecostituita dagli elementi della base $ mathbb(B) $ e viene $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 3 , 6 , 8 , 6 ),( 4 , 11 , 20 , 18 ),( 1 , 3 , 6 , 6 ) ) $ . E' corretto?
In genere si scrive \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}=\mathbb{V}\), altrimenti uno potrebbe capire che tu consideri lo spazio vettoriale dei polinomi di grado \(\displaystyle3\) e non di grado al più \(\displaystyle3\).
Fine prima parte.
Fine prima parte.
"Milenix":
[…] [Si consideri la seguente] applicazione lineare
$ F: qquad RR[x]_(<=3)->mathbb(K)^4 $
definita come$ F(p(X))=((p(0)),(p(1)),(p(2)),(p(3))) $
rispetto alla base $mathcalB:={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $. Devo scrivere la matrice associata a $F$.
"Milenix":
Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base.
Cos'è una matrice associata per te? Io considererei la matrice $M_(mathcal(EB))(F)$ ([nota]Le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalB$ rispetto la base $mathcalE$: i.e. $[F(b_i)]_mathcalE$[/nota]) dove $mathcalB$ è la base data e $mathcalE$ è la base canonica di $mathbbK^4$.
[ot]
"anto_zoolander":
@magma a occhio e croce dovrà calcolare l’applicazione inversa
Ti piace vincere facile
[/ot]
...m'ha preceduto Magma. 
"j18eos":
In genere si scrive \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}=\mathbb{V}\), altrimenti uno potrebbe capire che tu consideri lo spazio vettoriale dei polinomi di grado \(\displaystyle3\) e non di grado al più \(\displaystyle3\).
Fine prima parte.
Lo so, ma non riuscivo a scriverlo.
"Magma":
[quote="Milenix"][…] [Si consideri la seguente] applicazione lineare
$ F: qquad RR[x]_(<=3)->mathbb(K)^4 $
definita come$ F(p(X))=((p(0)),(p(1)),(p(2)),(p(3))) $
rispetto alla base $mathcalB:={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $. Devo scrivere la matrice associata a $F$.
"Milenix":
Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base.
Cos'è una matrice associata per te? Io considererei la matrice $M_(mathcal(EB))(F)$ ([nota]Le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalB$ rispetto la base $mathcalE$: i.e. $[F(b_i)]_mathcalE$[/nota]) dove $mathcalB$ è la base data e $mathcalE$ è la base canonica di $mathbbK^4$.
[ot]
"anto_zoolander":
@magma a occhio e croce dovrà calcolare l’applicazione inversa
Ti piace vincere facile
[/ot][/quote]Non ho capito
, se invece lo facessi direttamente scrivendo $ p(0)=ao; p(1)=a0+a1+a2+a3;
p(2)=a0+2a1+4a2+8a3;
p(3)=a0+3a1+9a2+27a3; $
e poi valutando nella base $ \mathcal(B) $ mi verrebbe $ \mathcal(( ( 1 , 0 , 0,0 ),( 1,1,0,0),( 1,2,2,0 ),( 1,3,6,6 ) ) ) $
"Milenix":
Se invece lo facessi direttamente scrivendo
$ p(0)=a_o$
$p(1)=a_0+a_1+a_2+a_3$
$p(2)=a_0+2a_1+4a_2+8a_3$
$p(3)=a_0+3a_1+9a_2+27a_3 $
e poi valutando nella base $ \mathcal(B) $ mi verrebbe $ \mathcal(( ( 1 , 0 , 0,0 ),( 1,1,0,0),( 1,2,2,0 ),( 1,3,6,6 ) ) ) $
L'applicazione $F$ è definita rispetto alla base $mathcalB$, quindi come polinomio di $RR[X]_(<=3)$ si prende:
$p(x)=a_o +a_1x+a_2x(x-1)+a_3 x(x-1)(x-2), qquad a_i in RR$
quindi
$p(0)=a_o$
$p(1)=a_o +a_1$
$vdots$
$p(1)=a_o +a_1$
$vdots$
"Magma":
[quote="Milenix"]Se invece lo facessi direttamente scrivendo
$ p(0)=a_o$
$p(1)=a_0+a_1+a_2+a_3$
$p(2)=a_0+2a_1+4a_2+8a_3$
$p(3)=a_0+3a_1+9a_2+27a_3 $
e poi valutando nella base $ \mathcal(B) $ mi verrebbe $ \mathcal(( ( 1 , 0 , 0,0 ),( 1,1,0,0),( 1,2,2,0 ),( 1,3,6,6 ) ) ) $
L'applicazione $F$ è definita rispetto alla base $mathcalB$, quindi come polinomio di $RR[X]_(<=3)$ si prende:
$p(x)=a_o +a_1x+a_2x(x-1)+a_3 x(x-1)(x-2), qquad a_i in RR$
quindi
$p(0)=a_o$
$p(1)=a_o +a_1$
$vdots$
[/quote]$p(1)=a_o +a_1$
$vdots$
non ho capito, sono proprio in difficoltà.
Forse ho capito, se scrivo p con i polinomi della base e valuto in p(0),p(1),p(2),p(3)ottengo $ p(0)=a0; p(1)=a0+a1; p(2)=a0+2a1+2a2; p(3)=10+3a1+6a2+6a3 $ e tramite la base canonica ho la matrice che ho scritto sopra, giusto? Se faccio così non mi serve la matrice di cambiamento di base, vero?
Ma le immagini dei vettori rimanenti della base $mathcalB$?
Non ci sto capendo niente...
"Milenix":Perfetto!
Non ci sto capendo niente...
Ricominciamo daccapo.
Sia \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{K}[x]_{\leq3}\) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(\displaystyle3\) a coefficienti in un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\); consideriamo la sua base standard \(\displaystyle\{1,x,x^2,x^3\}\).
Se tutto ciò non ti è chiaro; esercizio: dimostrare le precedenti affermazioni!
Invece, ti suggerisco di dimostrare che:
[list=1]
[*:1ppdlo7p]\(\displaystyle\{1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)\}\) è una base di \(\displaystyle\mathbb{V}\);[/*:m:1ppdlo7p]
[*:1ppdlo7p]\(\displaystyle F:p\in\mathbb{V}\to(p(0),p(1),p(2),p(3))\in\mathbb{K}^4\) è un'applicazione lineare di spazi vettoriali (su \(\displaystyle\mathbb{K}\)).[/*:m:1ppdlo7p][/list:o:1ppdlo7p]
"j18eos":Perfetto!
[quote="Milenix"]Non ci sto capendo niente...
Ricominciamo daccapo.
Sia \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{K}[x]_{\leq3}\) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(\displaystyle3\) a coefficienti in un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\); consideriamo la sua base standard \(\displaystyle\{1,x,x^2,x^3\}\).
Se tutto ciò non ti è chiaro; esercizio: dimostrare le precedenti affermazioni!
Invece, ti suggerisco di dimostrare che:
[list=1]
[*:kngqbjr9]\(\displaystyle\{1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)\}\) è una base di \(\displaystyle\mathbb{V}\);[/*:m:kngqbjr9]
[*:kngqbjr9]\(\displaystyle F:p\in\mathbb{V}\to(p(0),p(1),p(2),p(3))\in\mathbb{K}^4\) è un'applicazione lineare di spazi vettoriali (su \(\displaystyle\mathbb{K}\)).[/*:m:kngqbjr9][/list:o:kngqbjr9][/quote]
Si, questo l'ho fatto, era il primo punto dell'esercizio. Volevo solo sapere se i passaggi che ho fatto precedentemente sono giusti oppure dove sto sbagliando...
Ottimo!
Se ti chiedessi di scrivere la matrice di cambio base: cosa faresti?
Se ti chiedessi di scrivere la matrice di cambio base: cosa faresti?
La matrice di cambiamento di base la scrivo con i vettori che costiuiscono l base, $ ( ( 1,0,0,0 ),( 0,1,-1,2 ),( 0,0,1,-3),( 0,0,0,1 ) ) $ giusto?
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