Applicazione lineare con più componenti
mi sono trovato quest'esercizio che spero di aver formulato giusto.
calcolare il $ker f$ e $Imf$ dell'applicazione lineare
$f:W->RR^3$
$f(x,y,z,t,w)=(x+y+z,t+w,x+y+z+t+w)$
dove $B={(1,0,-1,0,1),(0,1,3,1,0),(0,1,1,1,1)}$ è una base di $W$
per risolvere questo semplice esercizio basta sostituire i vettori che formano una base di $W$ nell'applicazione per ottenere le relazioni costituenti
$f(1,0,-1,0,1)=(0,1,1)$
$f(0,1,3,1,0)=(4,1,5)$
$f(0,1,1,1,1)=(2,2,4)$
poi mi calcolo le componenti del generico vettore $(a,b,c)=xw_1+yw_2+zw_3$ per poi ottenere così le componenti da scrivere nella matrice associata all'applicazione lineare.
quello un pò che mi ha fatto riflettere è il numero di componenti.cioè nel dominio ho vettori aventi $5$ componenti mentre nel codominio ho $3$ componenti.è giusto il ragionamento?
calcolare il $ker f$ e $Imf$ dell'applicazione lineare
$f:W->RR^3$
$f(x,y,z,t,w)=(x+y+z,t+w,x+y+z+t+w)$
dove $B={(1,0,-1,0,1),(0,1,3,1,0),(0,1,1,1,1)}$ è una base di $W$
per risolvere questo semplice esercizio basta sostituire i vettori che formano una base di $W$ nell'applicazione per ottenere le relazioni costituenti
$f(1,0,-1,0,1)=(0,1,1)$
$f(0,1,3,1,0)=(4,1,5)$
$f(0,1,1,1,1)=(2,2,4)$
poi mi calcolo le componenti del generico vettore $(a,b,c)=xw_1+yw_2+zw_3$ per poi ottenere così le componenti da scrivere nella matrice associata all'applicazione lineare.
quello un pò che mi ha fatto riflettere è il numero di componenti.cioè nel dominio ho vettori aventi $5$ componenti mentre nel codominio ho $3$ componenti.è giusto il ragionamento?
Risposte
Giuly19 mi dispiace contraddirti ma l'esercizio già l'ho visto e rivisto più volte grazie anche alla soluzione che un collega mio mi ha mandato reperita quest'ultima dallo stesso mio prof.quindi mi attengo alla soluzione del mio prof 
...
[VERIFICATO],
TESTO Si chiede di determinare un endomorfismo generico di $W\toW$, con $W$ di dimensione $3$ la cui immagine sia in un sottospazio $V$ generato da un vettore $v$, insomma $V=$
Speriamo di arrivare ad una conclusione anche per questo generico endomorfismo:
La condizione $f\circg=0$, vuol dire che $f(g(w))=0$, ovvero $g(w)inKerf =$
$g(w_1)=av$
$g(w_2)=bv$
$g(w_3)=cv$
Sappiamo che $W=$,
è anche vero che $v=\lambda_1w_1+\lambda_2w_2+\lambda_3w_3$
Tenendo con delle cose dette, passo a definire il generico endomorfismo di $W$.
$g(w_1)=a\lambda_1w_1+a\lambda_2w_2+a\lambda_3w_3$
$g(w_2)=b\lambda_1w_1+b\lambda_2w_2+b\lambda_3w_3$
$g(w_3)=c\lambda_1w_1+c\lambda_2w_2+c\lambda_3w_3$
$A_g=((a\lambda_1,b\lambda_1,c\lambda_1\), (a\lambda_2,b\lambda_2,c\lambda_2),(a\lambda_3,b\lambda_3,c\lambda_3))$
Trovo il polinomio caratteristico:
$t^3-(a\lambda_1+b\lambda_2+c\lambda_3)t^2=0$
Le radici sono:
$t_1=t_2=0$ e $t_3=a\lambda_1+b\lambda_2+c\lambda_3$.
DISCUSSIONE
$t_1=t_2=0$, $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3$
a) Se $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(0,0,0)$ oppure $(a,b,c)=(0,0,0)$, sarà anche $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3=0$, allora la matrice associata all''autovalore ha rango zero e tutte le radice del polinomio caratteristico sono nulle, il sistema mi restituisce un autospazio di dimensione $3$, la regolarità dell'autovalore è garantita e anche in maniera evidente la diagonalizzabilità, essendo l'endomorfismo nullo.
b) Se $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)!=(0,0,0)$ e $(a,b,c)!=(0,0,0)$ e $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3=0$ la matrice del sistema ha rango $1$, e la molteplicità algebrica è $3$, dunque l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
Caso particolare $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(1,0,0)$, $t_3=a$ e la matrice è:
$A_g=((a,b,c), (0,0,0),(0,0,0))$
c) Se $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)!=(0,0,0)$ e $(a,b,c)!=(0,0,0)$ e $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3!=0$ la matrice del sistema ha rango $1$, e mi restituisce un autospazio di dimensione $2$ in corrispondenzaa delle due radici nulle. La radice semplice $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3!=0$ è regolare e dunque l'endomorfismo è diagonalizzabile.
TESTO Si chiede di determinare un endomorfismo generico di $W\toW$, con $W$ di dimensione $3$ la cui immagine sia in un sottospazio $V$ generato da un vettore $v$, insomma $V=
Speriamo di arrivare ad una conclusione anche per questo generico endomorfismo:
La condizione $f\circg=0$, vuol dire che $f(g(w))=0$, ovvero $g(w)inKerf =
$g(w_1)=av$
$g(w_2)=bv$
$g(w_3)=cv$
Sappiamo che $W=
è anche vero che $v=\lambda_1w_1+\lambda_2w_2+\lambda_3w_3$
Tenendo con delle cose dette, passo a definire il generico endomorfismo di $W$.
$g(w_1)=a\lambda_1w_1+a\lambda_2w_2+a\lambda_3w_3$
$g(w_2)=b\lambda_1w_1+b\lambda_2w_2+b\lambda_3w_3$
$g(w_3)=c\lambda_1w_1+c\lambda_2w_2+c\lambda_3w_3$
$A_g=((a\lambda_1,b\lambda_1,c\lambda_1\), (a\lambda_2,b\lambda_2,c\lambda_2),(a\lambda_3,b\lambda_3,c\lambda_3))$
Trovo il polinomio caratteristico:
$t^3-(a\lambda_1+b\lambda_2+c\lambda_3)t^2=0$
Le radici sono:
$t_1=t_2=0$ e $t_3=a\lambda_1+b\lambda_2+c\lambda_3$.
DISCUSSIONE
$t_1=t_2=0$, $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3$
a) Se $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(0,0,0)$ oppure $(a,b,c)=(0,0,0)$, sarà anche $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3=0$, allora la matrice associata all''autovalore ha rango zero e tutte le radice del polinomio caratteristico sono nulle, il sistema mi restituisce un autospazio di dimensione $3$, la regolarità dell'autovalore è garantita e anche in maniera evidente la diagonalizzabilità, essendo l'endomorfismo nullo.
b) Se $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)!=(0,0,0)$ e $(a,b,c)!=(0,0,0)$ e $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3=0$ la matrice del sistema ha rango $1$, e la molteplicità algebrica è $3$, dunque l'endomorfismo non è diagonalizzabile.
Caso particolare $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(1,0,0)$, $t_3=a$ e la matrice è:
$A_g=((a,b,c), (0,0,0),(0,0,0))$
c) Se $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)!=(0,0,0)$ e $(a,b,c)!=(0,0,0)$ e $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3!=0$ la matrice del sistema ha rango $1$, e mi restituisce un autospazio di dimensione $2$ in corrispondenzaa delle due radici nulle. La radice semplice $t_3=a\lambda_1+\b\lambda_2+c\lambda_3!=0$ è regolare e dunque l'endomorfismo è diagonalizzabile.
meglio postare la soluzione: http://www.dmi.unict.it/~zappalag/DidatticaWeb/Soluzioni/Sol20110302.pdf
vedere punto 4
@Giuly19: vedi il punto 4 così ti accorgi che l'immagine dei vettori $w_2,w_3$ non è zero
vedere punto 4
@Giuly19: vedi il punto 4 così ti accorgi che l'immagine dei vettori $w_2,w_3$ non è zero
Magari sono troppo presuntuoso, ma non sono d'accordo con la soluzione del tuo professore.
Adesso esco, stasera controllerò meticolosamente il tutto fino a cercare di trovare giusta quella del tuo prof., nel frattempo saresti così gentile da ricopiare pari pari il testo dell'esercizio?
Adesso esco, stasera controllerò meticolosamente il tutto fino a cercare di trovare giusta quella del tuo prof., nel frattempo saresti così gentile da ricopiare pari pari il testo dell'esercizio?
Niente, ho trovato il testo della prova sul sito del tuo prof! 
A stasera..
A stasera..
"mazzy89":
meglio postare la soluzione: http://www.dmi.unict.it/~zappalag/DidatticaWeb/Soluzioni/Sol20110302.pdf
vedere punto 4
@Giuly19: vedi il punto 4 così ti accorgi che l'immagine dei vettori $w_2,w_3$ non è zero
Puoi postare il testo dell'esercizio e non la risposta.
certamente
ecco qui il testo
http://www.dmi.unict.it/~zappalag/DidatticaWeb/TestiCompiti/Cp2011.pdf 2 Marzo 2011 punto 4
allora a stasera Giuly19.ci voglio vedere veramente chiaro in questo esercizio.e comunque non è detto che quello del mio prof sia giusto.anche se è il mio prof è pur sempre una persona che può sbagliare.
ecco qui il testo
http://www.dmi.unict.it/~zappalag/DidatticaWeb/TestiCompiti/Cp2011.pdf 2 Marzo 2011 punto 4
allora a stasera Giuly19.ci voglio vedere veramente chiaro in questo esercizio.e comunque non è detto che quello del mio prof sia giusto.anche se è il mio prof è pur sempre una persona che può sbagliare.
Invece lo è, penso di aver capito cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento (ed è abbastanza grave in effetti, quindi chiedo venia). Appena ho tempo scrivo tutto in modo decente.
Io chiedo chiarezza sulla richiesta di generico endomorfismo. Quello costruito non è il più generico endomorfismo, ma è un particolare endomorfismo. Si parte da una base è la si estende. Per questo io sono andato alla ricerca del più generale endomorfismo, non me ne vogliate, ora ho scritto tutto in un post precedente e ho messo una nota di verifica che toglierò quando arrivero al termine. Però è giusto chiarire che siamo partiti percorrendo strade un pochino diverse. Lo dicevo in altri post, cosa vuol dire generico? Quello svolto dal tuo docente è il più generale endomorfismo? Non credo!
be diciamo che a lezione non ha mai dato un concetto di generico endomorfismo se non mostrandolo tramite esercizi tipo questo mostrato in questo post.la tua concezione di generico endomorfismo è molto più ampia di quella esposta dal mio docente, weblan.quindi credo che bisogna restare nel generale ma allo stesso tempo particolare ovvero soddisfare le richieste fatte senza andare troppo giù.
"Giuly19":
@Seneca: per trovare l'intersezione di due sottospazi il modo più veloce è quello di mettere a sistema le equazioni cartesiane che li individuano (otterresti quindi direttamente il sistema dell'ultimo posto di weblan). Quindi di fatto il tuo ragionamento è perfettamente sensato, ma ti fa fare un passaggio un più. In molti casi questo complica decisamente l'esercizio.
${(x+3y-z-2w=0),(y-t=0):}$
Mi sfugge come si perviene a queste equazioni parametriche...
(scusatemi ancora l'intrusione)
Quella è la rappresentazione cartesiana del sottospazio $W$. Fai una combinazone dei tre vettori della base di $W$ e poi elimina i parametri e ti resteranno due equazioni in $5$ variabili.
"Giuly19":
Sì ma hai fatto su un casotto mica dopo, l'esercizio è molto più semplice di come l'hai scritto tu, e resta il fatto che ci sono degli errori nel tuo svolgimento. (Non te lo sto dicendo con cattiveria eh!)
Ho scritto soprattutto perchè il diretto interessato nello svolgimento dell'esercizio mi pare convinto di una cosa sbagliata.
Mi dispiace che dici che ho fatto un casotto. Dal primo momento ho tentato di risolvere l'esercizio in quel modo, nella maniera più generale possibile. Non mi sono mai posto di risolverlo ragionando su vettori assegnati perchè pensavo ad altro e credo di aver dato una risposta. Sono ben contento se qualcuno mi fa notare delle sbavature o qualche errore perchè si ricercano formule generali e il tutto si lima. Tu credi che quando si dimostrano teoremi si arriva alla conclusione immediatamente? Ma non esiste nessum errore di base nel mio ragionamento, anzi ti invito a guardarlo e vedi come quel caso particolare da voi visto rientra nello svolgimento in generale.
@weblan: a questo punto ritiro tutto XD, riguarderò il tuo ragionamento dopo, intanto scrivo la soluzione giusta dell'esercizio che avevo intrapreso, concludendola in modo sbagliato.
@mazzy: la soluzione del tuo professore è giustissima, solo che quella che avevo in mente io è leggermente diversa, per questo non mi tornava. Ora la scrivo:
ammesso e accettato da tutti che $dim(Ker f) = dim(Im g) = 1 => dim (Ker g) = 2 $, so che esiste una base di $W$ composta da vettori l.i. del nucleo di $g$, completata da un vettore, che chiamo $ul(v)$, che genera gli elementi che non appartengono al nucleo di $g$.
La garanzia che sfruttavo prima, ma che in realtà non ho, era quella di dire che $ul(v)$ potesse tranquillamente essere il vettore che genera l'immagine di $g$, che non è vero perchè non posso dire a priori che sia l.i. con i due vettori generatori del nucleo di $g$. In conclusione, scelta questa base $B$, posso solo dire che l'immagine di $ul(v)$ è combinazione lineare dei vettori di $B$. Di conseguenza la matrice rappresentativa che ne risulta è: $( ( 0 , 0 , a ),( 0 , 0 , b ),( 0 , 0 , c ) )$.
E' leggermente diversa da quella del tuo professore per il semplice motivo che la scelta della base è diversa, rimane il fatto che la dimensione dello spazio è $3$, siccome la matrice dipende da 3 parametri liberi (in accordo con la soluzione del tuo professore). Esattamente allo stesso modo dell'esercizio di ieri (sugli endomorfismi di $epsilon$) risulta diagonalizzabile a meno che $c=0$ e $(a,b)!=(0,0)$. ($c$ sarebbe $a$ della soluzione del tuo professore).
Ora dovrebbe essere giusto.
@mazzy: la soluzione del tuo professore è giustissima, solo che quella che avevo in mente io è leggermente diversa, per questo non mi tornava. Ora la scrivo:
ammesso e accettato da tutti che $dim(Ker f) = dim(Im g) = 1 => dim (Ker g) = 2 $, so che esiste una base di $W$ composta da vettori l.i. del nucleo di $g$, completata da un vettore, che chiamo $ul(v)$, che genera gli elementi che non appartengono al nucleo di $g$.
La garanzia che sfruttavo prima, ma che in realtà non ho, era quella di dire che $ul(v)$ potesse tranquillamente essere il vettore che genera l'immagine di $g$, che non è vero perchè non posso dire a priori che sia l.i. con i due vettori generatori del nucleo di $g$. In conclusione, scelta questa base $B$, posso solo dire che l'immagine di $ul(v)$ è combinazione lineare dei vettori di $B$. Di conseguenza la matrice rappresentativa che ne risulta è: $( ( 0 , 0 , a ),( 0 , 0 , b ),( 0 , 0 , c ) )$.
E' leggermente diversa da quella del tuo professore per il semplice motivo che la scelta della base è diversa, rimane il fatto che la dimensione dello spazio è $3$, siccome la matrice dipende da 3 parametri liberi (in accordo con la soluzione del tuo professore). Esattamente allo stesso modo dell'esercizio di ieri (sugli endomorfismi di $epsilon$) risulta diagonalizzabile a meno che $c=0$ e $(a,b)!=(0,0)$. ($c$ sarebbe $a$ della soluzione del tuo professore).
Ora dovrebbe essere giusto.
"Seneca":
${(x+3y-z-2w=0),(y-t=0):}$
Mi sfugge come si perviene a queste equazioni parametriche...
(scusatemi ancora l'intrusione)
Il modo migliore per ricavare delle equazioni cartesiane di un sottospazio (a senso non direi che sono uniche, ma non ne sono affatto sicuro) avendo i generatori dello spazio ($ul(v_1),...,ul(v_n)$), è quello di comporre la matrice $( ul(v_1) ... ul(v_n) ( ( x ),( y ),( ... ),( z ) ) ) $, e ridurla a gradini. Tutte le righe di $0$ in cui rimangono le incognite $x,y..,z$ a destra sono le equazioni cartesiane che individuano il sottospazio, se non mi sbaglio. Ho imparato questo metodo dopo esserci impazzito sopra durante gli esami scritti..
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