Applicazione lineare con parametro

[Rebb10]

Ciao ho questo esercizio che non riesc finire...
Sia $T:RR^3 ->RR^3$ l'unica applicazione lineare tale che:
$T(e_1)= 2e_1+e_2+2e_3$
$T(e_2)= e_1+e_2+e_3$
$T(e_3)= 3e_1+2e_2+e_3$
e per ogni $\alpha in RR$ sia $S_\alpha:RR^2->RR^3$ l'unica applicazione lineare tale che $S_\alpha(1,2)=4e_1+2e_2+4e_3$, $S_\alpha(2,-1)=e_2+\alphae_3$
Si trovi per quali $\alpha in RR$ si ha $Im(T)=Im(S_\alpha)$, e si calcoli la dimensione di $Im(T)nnIm(S_\alpha)$ al variare di $\alpha in RR$.

Per prima cosa ho scritto la matrice associata a T $((2,1,3),(1,1,2),(3,-1,1))$ che ho ridotto a scalini, i vettori sono linearmente indipendenti quindi sono $Im(T)$ ed ha dimensione pari a $3$. Ora non so come trattare $S_\alpha$, devo anche li scrivere la matrice associata e determinare l'immagine? Come faccio? Non capisco la scrittura dell'applicazione lineare mediante l'immagine del vettore.
Grazie

[Bokonon]

Ricontrolla il testo dell'esercizio

[Rebb10]

Il testo è giusto

[Bokonon]

E allora la matrice associata a T è $ ( ( 2 , 1 , 3 ),( 1 , 1 , 2 ),( 2 , 1 , 1 ) ) $ e $dim[Im(T)]=3$
Mentre $dim[Im(S)]$ può avere al massimo dimensione 2 (nel particolare ha dimensione 2 per qualsiasi valore di $alpha$).
Quindi $Im(T)=Im(S_\alpha)$ non è mai vero per ogni $alpha$ e la dimensione dell'intersezione $Im(T)nnIm(S_\alpha)$ è sempre 1.