Applicazione lineare con parametro
Sia data l'applicazione lineare f(x,y,z) =(2x-y+3z,y+7z,2kz) dove k è un parametro.
a) Si stabilisca per quali valori del parametro f è un isomorfismo.
b) Si determinino il polinomio caratteristico e gli autovalori per f.
c) Si stabilisca per quali valori di k l'applicazione f è diagonalizzabile.
Ho calcolato il rango della matrice associata, da cui il rango è tre per k diverso da zero, quindi è un isomorfismo per k diverso da zero. Gli autovalori sono 1, 2 , 2k , quindi è diagonalizzabile per k diverso da 1 e diverso da 1/2, poichè per questi valori la molteplicità algebrica sarebbe 2 diversamente da quella geometrica che invece è 1? grazie.
a) Si stabilisca per quali valori del parametro f è un isomorfismo.
b) Si determinino il polinomio caratteristico e gli autovalori per f.
c) Si stabilisca per quali valori di k l'applicazione f è diagonalizzabile.
Ho calcolato il rango della matrice associata, da cui il rango è tre per k diverso da zero, quindi è un isomorfismo per k diverso da zero. Gli autovalori sono 1, 2 , 2k , quindi è diagonalizzabile per k diverso da 1 e diverso da 1/2, poichè per questi valori la molteplicità algebrica sarebbe 2 diversamente da quella geometrica che invece è 1? grazie.
Risposte
Sicuramente per $k\ne 1, k\ne 1/2$ la matrice è diagonalizzabile, in quanto hai tre autovalori distinti. Tuttavia, bisogna vedere cosa accade quando scegli $k$ pari ad uno dei due valori, in quanto non è detto che tu ottenga, necessariamente, la situazione che hai descritto per quanto riguarda le molteplicità.
Infatti, da esempio per k=1, la molteplicità algebrica di 2 sarebbe 2 mentre la molteplicità geometrica è 1, e questo è ciò che accade anche per k=1/2.
Ah, ok, allora se lo avevi fatto tutto a posto. 
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