Applicazione lineare con notazione matriciale...

Tyler Leon1
Ciao a tutti, ho un esercizio che dice : sia f : R2,2 --> R2,2 l’applicazione lineare tra matrici 2 × 2 tale che

f$((a,b),(c,d))$ = $((0,b),(0,0))$

trovare una base e la dimensione di Ker(f);

Questo tipo di problemi li so risolvere se il testo mi da la notazione classica dell'applicazione lineare, ma non se mi da la notazione matriciale... come posso fare?

Risposte
mistake89
Non cambia assolutamente nulla nè concettualmente nè a livello di conti...
Qual è la base canonica di quel tuo spazio vettoriale? Che dimensione ha?
Calcola l'immagine della matrice $((1,0),(0,1))$, magari può essere un utile indizio. SE poi hai ancora problemi lo vediamo insieme!

Tyler Leon1
Ok, ma per trovare il ker devo risolvere il sistema omogeneo associato, quindi ce l'ho solo per b = 0? E allora la dimensione è 0? E la base come la trovo? :(

mistake89
Esatto hai come risultato $b=0$, però la matrice è composta anche da $a,c,d$. Quindi una generica matrice di questa forma $((a,0),(c,d))$ sta nel $ker$, che quindi ha dimensione...

Tyler Leon1
Beh siccome le variabili che rimangono sono 3... dim ker(f)=3?

mistake89
Esatto!

Tyler Leon1
E la base che mi chiede come la trovo?

mistake89
Abbiamo 3 parametri liberi, quindi mettendoli in base canonica abbiamo...

Tyler Leon1
Mmm...infatti... se usiamo la base canonica dobbiamo prendere i vettori (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1)... ma lì dentro che ci fanno???

mistake89
Base canonica non vuol dire solo quella che hai scritto, ad esempio nel tuo spazio vettoriale la base canonica è $((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))$. Alla luce di questo, direi che scartata la seconda matrice, le altre siano una base del tuo nucleo. Ti trovi?

Tyler Leon1
Si si, ti ringrazio molto, io queste cose proprio faccio fatica a farmele entrare in testa :)

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