Applicazione lineare associata ad una matrice

[MasaOverflow]

Volevo un piccolo chiarimento su questo esercizio e verificare se la mia idea di risoluzione fosse giusta:

Data una matrice $C = ((-2,1,3,1/2),(2,0,-4,1),(3,-1,-5,0))$:

1) Stabilire se l'applicazione lineare associata alla matrice $C$ è iniettiva;
2) Stabilire se il vettore $\vec v= (1, 0, -2)^T$ appartiene all'immagine di tale applicazione lineare; (Cioè se il sistema $C \vec x = \vec v$ è compatibile);

1) Per verificare se l'applicazione lineare associata alla matrice data è iniettiva ho moltiplicato la matrice per un vettore $\vec x = [x_1, x_2, x_3, x_4]$ ed ottengo un sistema: ${(-2x_1 + x_2 + 3x_3 +1/2x_4=0),(2x_1 - 4 x_3 + x_4=0),(3x_1 - x_2 - 5x_3=0):}$.
Risolvendo tale sistema ottengo la dimensione del kernel di C, se tale dimensione è 0 quindi il vettore nullo, allora l'applicazione lineare associata alla matrice è iniettiva. Giusto?
Se è giusto allora in questo caso tale applicazione lineare non è iniettiva perchè il risultato è diverso da 0.

2) Per stabilire se $\vec v$ appartiene all'immagine devo mettere a sistema $C \vec x$ con $\vec v$ ed ottenere ${(-2x_1 + x_2 + 3x_3 +1/2x_4=1),(2x_1 - 4 x_3 + x_4=0),(3x_1 - x_2 - 5x_3=-2):}$. Risolvendo il sistema trovo se l'identità è verificata, se questo accade allora il vettore $\vec v$ appartiene a tale immagine, altrimenti no.

Il ragionamento è giusto?

Volevo approfittare anche per chiedervi se potevate consigliarmi un buon testo dove viene spiegata bene l'algebra lineare e magari anche la geometria analitica...Così non devo più fare miscugli di concetti sulla rete

[Quinzio]

Per il punto 1 io conosco questa regola:
Se rango=n. righe allora suriettiva
Se rango=n. colonne allora iniettiva.

[MasaOverflow]

Azz quindi mi sto complicando la vita inutilmente Beh meglio così grazie!!!! Per il punto 2 invece il ragionamento è corretto?