Applicazione lineare
Ciao a tutti.
Come consigliato dal moderatore, riporto questo messaggio nell'apposita sezione.
Ho questa applicazione lineare $f : R^3 → R^3$ (non so come scriverla in verticale come andrebbe scritta): \[f:(x,y,z)\mapsto (x,-4x +z, 3x + y)\qquad \]
Mi si chiede di calcolare la dimensione di $Im f$ e di $Ker f$ e dire se l’applicazione è diagonalizzabile.
Ora, io l'unica cosa che ricordo è che la matrice associata è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica.
Quindi procedo creando la matrice associata:
\[A=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
-4&0&1\\
3&1&0
\end{pmatrix}
\]
e successivamente sottraggo ad essa la $λI$, ottenendo:
\[A=\begin{pmatrix}
1-λ&0&0\\
-4&-λ&1\\
3&1&-λ
\end{pmatrix}
\]
Dovrei quindi calcolare il determinante per poi vedere la molteplicità algebrica e confrontarla con la molteplicità geometrica. Ma sicuramente sbaglio qualcosa nel calcolo del determinante, perchè mi vien fuori una roba strana che non saprei come raccapezzarmici.
In teoria dovrei bloccare la prima riga (perchè quella con più zeri) e moltiplicare $1-λ$ per il determinante della matrice quadrata formata dal secondo e terzo elemento della seconda e terza riga, giusto?
E già qui ho dei problemi; come continuare?
Inoltre chiede di trovare l'immagine e il ker (nucleo) dell'applicazione: come fare? Non ce lo ha mai spiegato e avendo solo appunti e nessun libro di testo non so nemmeno da dove si cominci. Oltre che non sapere bene cosa effettivamente siano immagine e nucleo.
Come consigliato dal moderatore, riporto questo messaggio nell'apposita sezione.
Ho questa applicazione lineare $f : R^3 → R^3$ (non so come scriverla in verticale come andrebbe scritta): \[f:(x,y,z)\mapsto (x,-4x +z, 3x + y)\qquad \]
Mi si chiede di calcolare la dimensione di $Im f$ e di $Ker f$ e dire se l’applicazione è diagonalizzabile.
Ora, io l'unica cosa che ricordo è che la matrice associata è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica.
Quindi procedo creando la matrice associata:
\[A=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
-4&0&1\\
3&1&0
\end{pmatrix}
\]
e successivamente sottraggo ad essa la $λI$, ottenendo:
\[A=\begin{pmatrix}
1-λ&0&0\\
-4&-λ&1\\
3&1&-λ
\end{pmatrix}
\]
Dovrei quindi calcolare il determinante per poi vedere la molteplicità algebrica e confrontarla con la molteplicità geometrica. Ma sicuramente sbaglio qualcosa nel calcolo del determinante, perchè mi vien fuori una roba strana che non saprei come raccapezzarmici.
In teoria dovrei bloccare la prima riga (perchè quella con più zeri) e moltiplicare $1-λ$ per il determinante della matrice quadrata formata dal secondo e terzo elemento della seconda e terza riga, giusto?
E già qui ho dei problemi; come continuare?
Inoltre chiede di trovare l'immagine e il ker (nucleo) dell'applicazione: come fare? Non ce lo ha mai spiegato e avendo solo appunti e nessun libro di testo non so nemmeno da dove si cominci. Oltre che non sapere bene cosa effettivamente siano immagine e nucleo.
Risposte
Non capisco quale sia il problema. Sai calcolare il determinante di una matrice quadrata?
Per quanto riguarda il nucleo di $f$ devi risolvere il sistema omogeneo $A ((x_1),(x_2),(x_3)) = ((0),(0),(0))$; le soluzioni sono tutti i vettori che vengono trasformati nel vettore nullo dello spazio di arrivo, cioè proprio $Ker(f)$.
Per quanto riguarda il nucleo di $f$ devi risolvere il sistema omogeneo $A ((x_1),(x_2),(x_3)) = ((0),(0),(0))$; le soluzioni sono tutti i vettori che vengono trasformati nel vettore nullo dello spazio di arrivo, cioè proprio $Ker(f)$.
"Seneca":
Non capisco quale sia il problema. Sai calcolare il determinante di una matrice quadrata?
Per quanto riguarda il nucleo di $f$ devi risolvere il sistema omogeneo $A ((x_1),(x_2),(x_3)) = ((0),(0),(0))$; le soluzioni sono tutti i vettori che vengono trasformati nel vettore nullo dello spazio di arrivo, cioè proprio $Ker(f)$.
Innanzitutto grazie per la risposta.
Scusami ma non ho capito come faccio a calcolare il nucleo.
La matrice che hai scritto non rispecchia la trasformazione lineare dell'esercizio.
"speculor":
La matrice che hai scritto non rispecchia la trasformazione lineare dell'esercizio.
Come no?
"Giobbo":
Come no?
Grazie, hai modificato il testo! In ogni modo, il tuo non mi è sembrato un comportamento corretto, a meno che tu avessi voglia di scherzare. Ricordati, verba volant, scripta manent. E anche le modifiche!
Per quanto riguarda il nucleo è scritto tutto nella mia prima risposta. Cosa non capisci?
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