Applicazione lineare
salve a tutti, avrei dei dubbi sul seguente esercizo, lo riscrivo per intero, sperando si possa capire il più possibile di cosa si tratta.
Al variare del parametro $lambda in R$, $f_lambda : R^3 rarr R^2$ l'applicazione lineare tale che, per ogni $(x,y,z) in R^3$:
$f_lambda(x,y,z) = (x + (lambda-1)z, (3-lambda)x + y + z)$.
Determinare per quali valori di $lambda in R$ l'applicazione $f_lambda$ è surgettiva.
Deterinata la base e la sua immagine, tutto dovrebbe risolversi, solo che poi non riesco a dimostrare il valore di $lambda$ secondo il quale la $dim Imf = dimA = rg(A)$ che dovrebbe essere 2
Al variare del parametro $lambda in R$, $f_lambda : R^3 rarr R^2$ l'applicazione lineare tale che, per ogni $(x,y,z) in R^3$:
$f_lambda(x,y,z) = (x + (lambda-1)z, (3-lambda)x + y + z)$.
Determinare per quali valori di $lambda in R$ l'applicazione $f_lambda$ è surgettiva.
Deterinata la base e la sua immagine, tutto dovrebbe risolversi, solo che poi non riesco a dimostrare il valore di $lambda$ secondo il quale la $dim Imf = dimA = rg(A)$ che dovrebbe essere 2
Risposte
se vuoi una risposta dovresti quantomeno postare la parte di esercizio che hai svolto.
ho commentato la traccia indicando il procedimento che ho seguito, non dovrebbe essere la stessa cosa?
mi spiego meglio, ho seguito la teoria, infatti so che $dim Imf = dimA = rg(A)$, poi in base al rango, che risulta essere 2, vado a dimostrare la teoria...una ulteriore prova, ma che in realtà dovrebbe essere la parte più importante nella risoluzione dell'esercizio, dovrei darla con il valore di $lambda$, purtroppo però è questa la parte che non riesco a svolgere..mettendo a sistema il valore di $x^1$ e $y^1$ non ottengo i risultati esatti.
mi spiego meglio, ho seguito la teoria, infatti so che $dim Imf = dimA = rg(A)$, poi in base al rango, che risulta essere 2, vado a dimostrare la teoria...una ulteriore prova, ma che in realtà dovrebbe essere la parte più importante nella risoluzione dell'esercizio, dovrei darla con il valore di $lambda$, purtroppo però è questa la parte che non riesco a svolgere..mettendo a sistema il valore di $x^1$ e $y^1$ non ottengo i risultati esatti.
in generale $Imf$ è un sottospazio dello spazio di arrivo, quindi in questo caso $Imf sube RR^2$
ma $AA\lambda in RR, dim(Imf)=rank(A)=2$ quindi $Imf$ ha invaso tutto lo spazio di arrivo (ovviamente $dim(RR^2=2)$), cioe:
$AAx in RR^2,EE y in RR^3 | f(y)=x$
che non è altro che una delle possibili definizioni di suriettivita.
ma $AA\lambda in RR, dim(Imf)=rank(A)=2$ quindi $Imf$ ha invaso tutto lo spazio di arrivo (ovviamente $dim(RR^2=2)$), cioe:
$AAx in RR^2,EE y in RR^3 | f(y)=x$
che non è altro che una delle possibili definizioni di suriettivita.
ok, ma come faccio a trovare il valore di $lambda$ per il quale tutto questo è vero? perchè deduco che ci sia un valore di $lambda$ con il quale potrebbe anche annullarsi tutto, quindi invalidare la dimensione di $R^2$
"byob12":
$AA\lambda in RR, dim(Imf)=rank(A)=2$ $=>$ $AA\lambda in RR,AAx in RR^2,EE y in RR^3 | f(y)=x$
il simbolo $AA$ significa "per ogni".
ah ok, non avevo capito che ti stessi riferendo alla risposta...ma c'è un modo pratico per giungere a questa conclusione? oppure devo dare la risposta al quesito seguendo soltanto la logica della teoria?
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