Applicazione lineare
ho questa applicazione lineare f:R^3-->R^2 definita da f(x,y,z)=(x-2y,x+y+z)
1) calcolare Imf,Kerf,una loro base e la loro dimensione.
2)Calcolare Mf(B,B') dove B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,1,1)), B'=((2,0),(o,-1))
3) Stabilire se f è iniettiva,suriettiva,isomorfismo.
4) calcolare f^-1(-1,3)
Per favore aiutatemi perchè lunedì ho l'esame e questi esercizi non li so propio fare.Cosa cambia se f:R^3-->R^2 o R^3-->R^3 ?
come si stabilisce se f è iniettiva,suriettiva o isomorfismo ?
1) calcolare Imf,Kerf,una loro base e la loro dimensione.
2)Calcolare Mf(B,B') dove B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,1,1)), B'=((2,0),(o,-1))
3) Stabilire se f è iniettiva,suriettiva,isomorfismo.
4) calcolare f^-1(-1,3)
Per favore aiutatemi perchè lunedì ho l'esame e questi esercizi non li so propio fare.Cosa cambia se f:R^3-->R^2 o R^3-->R^3 ?
come si stabilisce se f è iniettiva,suriettiva o isomorfismo ?
Risposte
iniettiva se dim(Ker(L)) = 0, cioè solo l'elemento (0,0,0) in questo caso, o altrimenti se dim(R^3) = dim(Im(L))
anzitutto ricavati la matrice/sistema associata/o, lo sai fare?
$ ( ( 1 , -2, 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
a questo punto, se poni le due equazioni
$ { ( x-2y =0 ),( x+y+z = 0 ):} $
trovi i generatori di Ker(L) come generatori delle soluzioni del sistema.
Successivamente (piccolo trucco) applica ai vettori della base canonica (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) la stessa applicazione lineare, ed ottieni i generatori di Im(L) !
anzitutto ricavati la matrice/sistema associata/o, lo sai fare?
$ ( ( 1 , -2, 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
a questo punto, se poni le due equazioni
$ { ( x-2y =0 ),( x+y+z = 0 ):} $
trovi i generatori di Ker(L) come generatori delle soluzioni del sistema.
Successivamente (piccolo trucco) applica ai vettori della base canonica (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) la stessa applicazione lineare, ed ottieni i generatori di Im(L) !
per il primo punto va bene...il secondo non ho capito come si faccia...puoi spiegarlo con un esempio ?
Ti riferisci ai generatori dell'Im(L)?
semplice.
Ricordati che "l'immagine della base è il generatore dell'immagine"
Prendi una base qualsiasi di R^3 che è la base di partenza, quindi i tre vettori canonici (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) e ci applichi la tua L.
Otterrai generatori (ma non base) dell'Immagine.
Poi puoi sistemarli con il teorema della base incompleta, cioè uno dei 3 vettori si elimina e i rimanenti formeranno la base dell'Immagine..
dimmi si hai capito, e se qualche altro utente nota errori in ciò che dico avvisi, io Algebra Lineare lo devo dare tra un pò di giorni
semplice.
Ricordati che "l'immagine della base è il generatore dell'immagine"
Prendi una base qualsiasi di R^3 che è la base di partenza, quindi i tre vettori canonici (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) e ci applichi la tua L.
Otterrai
Poi puoi sistemarli con il teorema della base incompleta, cioè uno dei 3 vettori si elimina e i rimanenti formeranno la base dell'Immagine..
dimmi si hai capito, e se qualche altro utente nota errori in ciò che dico avvisi, io Algebra Lineare lo devo dare tra un pò di giorni
no mi riferivo innanzi tutto a come faccio a dire se la funzione è suriettiva,iniettiva o un isomorfismo...e poi come si calcola la matrice associata Mf(B,B').
per la contro immagine nn c'è problema la sò trovare.
per la contro immagine nn c'è problema la sò trovare.
La matrice associata la trovi così:
-prendi un vettore di B
-esprimilo come combinazione lineare dei vettori di B' (a*v1+b*v2+c*v3)
-poni come colonna della matrice i coefficienti trovati (a,b,c)
-fallo per tutti i vettori di B e trovi la matrice..
-prendi un vettore di B
-esprimilo come combinazione lineare dei vettori di B' (a*v1+b*v2+c*v3)
-poni come colonna della matrice i coefficienti trovati (a,b,c)
-fallo per tutti i vettori di B e trovi la matrice..
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