Applicazione lineare
$ f_k:R^3rarr R^3 $ definita da $ f_k(x,y,z)=(kx+y+z,x+y+z,x+y+kz) $
1) discutere al variare di k quando f è un isomorfismo
2)nel caso in cui k=1 determinare $ f_1 ^-1(1,1,1) $ e $ f_1 ^-1(1,0,2) $
3) determinare $ Imf_1 $ e $ Kerf_1 $
4) sempre in k=1 dire se f è diagonalizzabile
1)
io so che per essere un isomorfismo deve essere un epimorfismo e un monomorfismo, quindi:
epimorfismo: $ |A| != 0 $ quindi f è biettiva. $ A=| ( kx , y , z ),( x , y , z ),( x , y , kz ) | $ $ |A|!= 0 rarr k^2+2-1-2k!=0rarrk^2-2k+1!=0rarr k!=1 $
monomorfismo: n=null(A)+rank(A) se la soluzione di null(A) è banale. 3=null(A)+3 quindi è un monomorfismo
è un isomorfismo
2) e 3) non so fare nulla!
1) discutere al variare di k quando f è un isomorfismo
2)nel caso in cui k=1 determinare $ f_1 ^-1(1,1,1) $ e $ f_1 ^-1(1,0,2) $
3) determinare $ Imf_1 $ e $ Kerf_1 $
4) sempre in k=1 dire se f è diagonalizzabile
1)
io so che per essere un isomorfismo deve essere un epimorfismo e un monomorfismo, quindi:
epimorfismo: $ |A| != 0 $ quindi f è biettiva. $ A=| ( kx , y , z ),( x , y , z ),( x , y , kz ) | $ $ |A|!= 0 rarr k^2+2-1-2k!=0rarrk^2-2k+1!=0rarr k!=1 $
monomorfismo: n=null(A)+rank(A) se la soluzione di null(A) è banale. 3=null(A)+3 quindi è un monomorfismo
è un isomorfismo
2) e 3) non so fare nulla!
Risposte
si tratta di trovare quei vettori tali che $f(x,y,z)=(1,1,1)$ oppure $f(x,y,z)=(1,0,2)$ sfruttando la definizione di $f$ per $k=1$ non ti resta che risolvere il sistema.
questo sistema?
per $ f_1=(1,1,1) $ $ { ( x+y+z=1 ),( x+y+z=1 ),( x+y+z=1 ):} $
quindi ho le soluzioni: $ x=0, y=1+z. z $
per $ f_1=(1,0,2) $ ho le soluzioni: $ x=1, y=-z, z $
ora devo fare le inverse giusto?
... che non so come si fanno!
per $ f_1=(1,1,1) $ $ { ( x+y+z=1 ),( x+y+z=1 ),( x+y+z=1 ):} $
quindi ho le soluzioni: $ x=0, y=1+z. z $
per $ f_1=(1,0,2) $ ho le soluzioni: $ x=1, y=-z, z $
ora devo fare le inverse giusto?
... che non so come si fanno!
come faccio per trovare l'inversa di $ f_1=(1,1,1) $ ??? cioè come trovo $ f_1 ^-1=(1,1,1) $ ???
nessuno? 
ma la controimmagine di $(1,1,1)$ non l'hai già calcolata risolvendo questo sistema? $ { ( x+y+z=1 ),( x+y+z=1 ),( x+y+z=1 ):} $
anche se non ho capito bene come l'hai risolto...
anche se non ho capito bene come l'hai risolto...
Ciao,
allora poni il sistema come hai fatto tu,ora il rango della matrice è associata è 1 poichè le righe sono tutte proporzionali tra di loro.La riduci alla semplice equazione $x+y+z=1$ e dai un valore k ad y ed un valore j a z(puoi chiamarli come vuoi tu) e ti trovi le soluzione che saranno la tua controimmagine.
Per il ker fa la stessa cosa,solamente il sistema sarà omogeno,cioè avrà come termini noti tutti 0.In bocca al lupo
allora poni il sistema come hai fatto tu,ora il rango della matrice è associata è 1 poichè le righe sono tutte proporzionali tra di loro.La riduci alla semplice equazione $x+y+z=1$ e dai un valore k ad y ed un valore j a z(puoi chiamarli come vuoi tu) e ti trovi le soluzione che saranno la tua controimmagine.
Per il ker fa la stessa cosa,solamente il sistema sarà omogeno,cioè avrà come termini noti tutti 0.In bocca al lupo
una cosa non ho capito, cioè quando l'esercizio mi chiede detreminare $ f_1 ^-1 (1,1,1) $ cosa devo scriverci? qual'e la risposta esatta a questa domanda?
"lex153":
una cosa non ho capito, cioè quando l'esercizio mi chiede detreminare $ f_1 ^-1 (1,1,1) $ cosa devo scriverci? qual'e la risposta esatta a questa domanda?
Determinare $f_1 ^(-1) (1,1,1)$ è equivalente a trovare tutti i vettori $x=(x_1,x_2,x_3) in RR^3$ tali che $f(x)=(1,1,1)$.
Cioè bisogna risolvere il sistema scritto prima
quindi: $ x+y+z=1 rarr x=-y-z+1 rarr { ( y=k ),( z=j ),( x=-k-j+1 ):} $
grazie per la pazienza
grazie per la pazienza
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