Applicazione lineare

[Bluff1]

Ciao, potreste darmi qualche dritta su come svolgere questo esercizio nel caso il metodo da me proposto fosse sbagliato:

Dovrei dimostrare che un applicazione lineare iniettiva tra spazi vettoriali è chiusa. Se invece è suriettiva è aperta.

Data una applicazione lineare del tipo $f:RR^n -> RR^m$ so che è iniettiva se e solo se la $dimkerf = 0$ mentre è suriettiva se se solo se $dimImf=m$ perchè in questo caso $Imf$ e $RR^m$ coincidono.
Inoltre $n=dimImf + dimkerf$, quindi per applicazioni $m=n$ se è iniettiva è anche suriettiva e viceversa.
Nel caso in cui $n>m$ l'applicazione non potrà essere mai iniettiva perchè $dimkerf=n-dimImf$ ma $dimImf<=m$ per cui in ogni caso $dimkerf>0$. Tale applicazione potrà essere suriettiva a patto che $dimImf=m$. Nel caso in cui $n
Come dimostro però che è aperta e chiusa a seconda che sia suriettiva o iniettiva?

Stavo pensando di prendere $f:V -> W$ e considerare una base per $V$ e per $W$. Considero due funzioni che associano ad ogn elemento o meglio ad ogni vettore di $V$ e $W$ delle componenti. Mi spiego meglio considero $f_V :V -> R^k$ supponendo che la dimensione di $V$ sia $k$ e stessa cosa per $W$ cioè prendo $f_W :W -> R^n$.
Se f come applicazione lineare è iniettiva allora $k W$ sarebbe una composizione di funzioni chiuse che sono $f_W^(-1)$ , $f_V$ ed $f_1: R^k -> R^n$.
Sapete dirmi se questa è giusta?
Per la suriettiva procedo nello stesso modo e quindi non avrei problemi.

[mistake89]

Ma $RR^n$, $RR^m$ di che topologia sono muniti?

[Bluff1]

Quello era solo un esempio di applicazione lineare. La dimostrazione è quella che ha come applicazione lineare $f:V->W$. E' corretto il procedimento che uso per dimostrare che se è iniettiva è chiusa.

[mistake89]

Forse stiamo parlando di due cose diverse
Per me un'applicazione chiusa è un'applicazione tra spazi topologici che trasforma chiusi in chiusi. E per definire i chiusi c'è bisogno di definire una topologia. Ma forse tu parli di un'altra cosa, in tal caso ti chiedo scusa

[Bluff1]

Allora mi spiego meglio. L'esercizio mi chiede:

"Bluff":Dovrei dimostrare che un applicazione lineare iniettiva tra spazi vettoriali è chiusa. Se invece è suriettiva è aperta.

Io ho provato a risolverlo in questo modo:

"Bluff":Stavo pensando di prendere due spazi vettoriali e considerare l'applicazione $f:V -> W$ e considerare una base per $V$ e per $W$. Considero due funzioni che associano ad ogn elemento o meglio ad ogni vettore di $V$ e $W$ delle componenti. Mi spiego meglio considero $f_V :V -> R^k$ supponendo che la dimensione di $V$ sia $k$ e stessa cosa per $W$ cioè prendo $f_W :W -> R^n$.
Se f come applicazione lineare è iniettiva allora $k W$ sarebbe una composizione di funzioni chiuse che sono $f_W^(-1)$ , $f_V$ ed $f_1: R^k -> R^n$.
Sapete dirmi se questa è giusta?
Per la suriettiva procedo nello stesso modo e quindi non avrei problemi.

Tu mi chiedi che topologia uso negli spazi della funzione $f_1$? Se intendi quello allora è la topologia euclidea. Altrimenti non ho capito a cosa ti riferisci.