Applicazione lineare
Sia ${e_1,e_2,e_3}$ la base canonica di $R^3$ e sia $f: R^3 -> R^3$ l'applicazione lineare t.c.
$e_1+e_2$ è autovettore con autovalore $3$
$e_2+e_3 in Ker f$
$f(e_1+e_3)=2e_1$
Controllare che $e_1-3e_2$ è autovettore con autovalore $1$.
Ho provato a scrivere la matrice associata però non mi porta a nulla.
$e_1+e_2$ è autovettore con autovalore $3$
$e_2+e_3 in Ker f$
$f(e_1+e_3)=2e_1$
Controllare che $e_1-3e_2$ è autovettore con autovalore $1$.
Ho provato a scrivere la matrice associata però non mi porta a nulla.
Risposte
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Ho scritto:
$f(e_1+e_2)=3e_1+3e_2$
$f(e_2+e_3)=0$
$f(e_1+e_3)=2e_1$
Quindi, avrei scritto la matrice in questo modo: $A((3,3,0),(0,0,0),(2,0,0))$
$f(e_1+e_2)=3e_1+3e_2$
$f(e_2+e_3)=0$
$f(e_1+e_3)=2e_1$
Quindi, avrei scritto la matrice in questo modo: $A((3,3,0),(0,0,0),(2,0,0))$
Beh se $e_1+e_2$ è autovettore allora $f(e_1+e_2)=3(e_1+e_2)$
Quella è la matrice rispetto alla base $e_1+e_2,e_2+e_3,e_1+e_3$ (ammesso che sia una base non ho controllato.
Per scriverlo rispetto alle basi canoniche dovresti ricavarti $f(e_i)$. Per farlo puoi maneggiare le tue espressioni, infatti $f(e_1+e_2)+f(e_1+e_3)-f(e_2+e_3)=2f(e_1)$, ma tutte le immagini tu le conosci quindi...
Per scriverlo rispetto alle basi canoniche dovresti ricavarti $f(e_i)$. Per farlo puoi maneggiare le tue espressioni, infatti $f(e_1+e_2)+f(e_1+e_3)-f(e_2+e_3)=2f(e_1)$, ma tutte le immagini tu le conosci quindi...
Sì scusa, avevo lasciato un $e_2$
A questo punto, mi sono calcolato $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$
$e_1=a(e_1+e_2)+b(e_2+e_3)+c(e_1+e_3)$
$a=1/2, b=-1/2, c=1/2$
$f(e_1)=1/2(3e_1+3e_2)-1/2(0)+1/2(2e_1)$ Quindi $f(e_1)=5/2e_1+3/2e_2$
Ho fatto la stessa cosa per $e_2$ e $e_3$
$f(e_2)=e_1+3/2e_2$
$f(e_3)=-e_1-3/2e_2$
La matrice quindi l'ho scritta così: $A((5/2,1,-1),(3/2,3/2,-3/2),(0,0,0))$
Ho provato a diagonalizzarla, però non ho un autovaloe $1$
A questo punto, mi sono calcolato $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$
$e_1=a(e_1+e_2)+b(e_2+e_3)+c(e_1+e_3)$
$a=1/2, b=-1/2, c=1/2$
$f(e_1)=1/2(3e_1+3e_2)-1/2(0)+1/2(2e_1)$ Quindi $f(e_1)=5/2e_1+3/2e_2$
Ho fatto la stessa cosa per $e_2$ e $e_3$
$f(e_2)=e_1+3/2e_2$
$f(e_3)=-e_1-3/2e_2$
La matrice quindi l'ho scritta così: $A((5/2,1,-1),(3/2,3/2,-3/2),(0,0,0))$
Ho provato a diagonalizzarla, però non ho un autovaloe $1$
Ricontrollo i calcoli perché c'è qualcosa che non va.
C'è qualche errore di calcolo credo, controlla $2f(e_1)=f(e_1+e_3)+f(e_1+e_2)-f(e_2+e_3)=3e_1+3e_2+2e_1=5e_1+3e_2$ da cui $f(e_1)=5/2e_1+3/2e_2$
Ho ricontrollato tutti i calcoli e adesso mi torna. Infatti:
$f(e_1)=5/2e_1+3/2e_2$
$f(e_2)=1/2e_1+3/2e_2$
$f(e_3)=-1/2e_1-3/2e_2$
Dopodiché, ho diagonalizzato la matrice ed ho trovato che $e_1-3e_2$ è autovettore.
Un esercizio del tutto simile però, mi crea problemi.
Sia ${e_1,e_2,e_3}$ la base canonica di $R^3$ e sia $f: R^3 -> R^3$ l'applicazione lineare t.c.
$f(e_1-e_2)=e_1-e_3$
$f(e_2+e_3)=-e_1+e_2+2e_3$
$f(e_1+e_2+e_3)=2e_2+2e_3$
Controllare che $e_1-e_2+e_3$ è autovettore.
Ho scritto la matrice, dove sulle colonne ho messo $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$
$A((1,0,-1),(1,1,0),(0,1,1))$
Ho provato a diagonalizzarla, ma come polinomio caratteristico trovo $lambda(lambda^2-3lambda+3)=0$ Però trovo un solo autovalore.
$f(e_1)=5/2e_1+3/2e_2$
$f(e_2)=1/2e_1+3/2e_2$
$f(e_3)=-1/2e_1-3/2e_2$
Dopodiché, ho diagonalizzato la matrice ed ho trovato che $e_1-3e_2$ è autovettore.
Un esercizio del tutto simile però, mi crea problemi.
Sia ${e_1,e_2,e_3}$ la base canonica di $R^3$ e sia $f: R^3 -> R^3$ l'applicazione lineare t.c.
$f(e_1-e_2)=e_1-e_3$
$f(e_2+e_3)=-e_1+e_2+2e_3$
$f(e_1+e_2+e_3)=2e_2+2e_3$
Controllare che $e_1-e_2+e_3$ è autovettore.
Ho scritto la matrice, dove sulle colonne ho messo $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$
$A((1,0,-1),(1,1,0),(0,1,1))$
Ho provato a diagonalizzarla, ma come polinomio caratteristico trovo $lambda(lambda^2-3lambda+3)=0$ Però trovo un solo autovalore.
Ma per verificare quello che devi non ti serve diagonalizzarla (che poi non è detto che sia sempre possibile, magari ammette un solo autovettore, quello che cerchi). Basta applicare la definizione. Devi semplicemente calcolare $f(e_1-e_2+e_3)$
Non ho capito perché "basta calcolare $f(e_1-e2+e_3)$" Per la definizione di autovettore?
Beh un vettore $v$ si dice autovettore per $f$ di autovalore $lambda$ se per definizione $f(v)=lambdav$
Ma se io ho la matrice $A((a,b,0),(0,1,a),(2,b,1))$ e mi viene chiesto, per quali valori di $a,b$, la matrice ammette $(1, -1, 1)$ come autovettore, io ho moltiplicato la matrice per $(1, -1, 1)$. Però non riesco a capire come fare per ricavare i parametri $a,b$.
Se $A$ è scritta rispetto alle basi canoniche allora $Av=lambda(1,-1,1)$. $3$ e equazioni per $3$ incognite. Basta risolvere il sistema
Grazie mille!!
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