Applicazione lineare...
salve a tutti...
Si consideri l applicazione lineare $f: R^3 -> R^2$ e la matrice che rappresenta f rispetto alle basi standard :
$ ( ( 2 , -2 , -1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ e sia $ U sub R^3 $ IL sottospazio di equazione $ 2x+z=0$ come si fa a calcolare : $dimf(U)=?$
Io non so proprio da che parte cominciare, bisogna trovare una base x il sottospazio e moltiplicarla per la matrice ...? aiutatemi grazie
Si consideri l applicazione lineare $f: R^3 -> R^2$ e la matrice che rappresenta f rispetto alle basi standard :
$ ( ( 2 , -2 , -1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ e sia $ U sub R^3 $ IL sottospazio di equazione $ 2x+z=0$ come si fa a calcolare : $dimf(U)=?$
Io non so proprio da che parte cominciare, bisogna trovare una base x il sottospazio e moltiplicarla per la matrice ...? aiutatemi grazie
Risposte
ok scusatemi forse ho capito...
io ho trovato le equazioni di ker(f) e sono $2x+z=y+z=0)$ e in questo caso dato che $2x +z =0 $ appartiene a ker(f) che ha dimensione 1...anche $ dimf(U)=1$ ???
se questo è giusto. sempre se
, iu un caso piu generale ad esempio al posto di $2x +z=0$ l equazione del sottospazio fosse stara $y+5z=0$ come avrei dovuto comportarmi?
io ho trovato le equazioni di ker(f) e sono $2x+z=y+z=0)$ e in questo caso dato che $2x +z =0 $ appartiene a ker(f) che ha dimensione 1...anche $ dimf(U)=1$ ???
se questo è giusto. sempre se
, iu un caso piu generale ad esempio al posto di $2x +z=0$ l equazione del sottospazio fosse stara $y+5z=0$ come avrei dovuto comportarmi?
"germano88":
io ho trovato le equazioni di ker(f) e sono $2x+z=y+z=0)$ e in questo caso dato che $2x +z =0 $ appartiene a ker(f) che ha dimensione 1...anche $ dimf(U)=1$ ???
Credo che dovresti cercare di ragionare di più, altrimenti è difficile indovinare la risposta esatta...
In questo caso, se i conti che hai fatto sono giusti, tu dici: il $ker(f)$ è determinato dalle equazioni ${(2x+z=0),(y+z=0):}$.
Quindi mi sembra che sia il $ker(f)$ ad essere contenuto in $U$ e non il contrario.
E poi il fatto che $U\subset ker(f)$ non implica mica che $\dim f(U)=1$!
Insomma c'è un po' di confusione...
Comunque la tecnica migliore e più generale è secondo me la seguente: determini una base di $U$, chiamiamola $v_1,...v_k$. Determini le immagini $f(v_1),...,f(v_k)$.
La dimensione di $f(U)$ è data dalla dimensione di $
ok...scusami ma questo argomento mi è poco chiaro...
allora dai tuoi suggerimenti ho ricavato una base di $bU=(1,0-1);(0,1,0)$
dalla base ho ricavato l equazione dell immagine che è $x=a,y=b,z=-a$ da cui ricavo che $x+z=0$..è giusto...come procedo poi?
grazie
allora dai tuoi suggerimenti ho ricavato una base di $bU=(1,0-1);(0,1,0)$
dalla base ho ricavato l equazione dell immagine che è $x=a,y=b,z=-a$ da cui ricavo che $x+z=0$..è giusto...come procedo poi?
grazie
"germano88":
ok...scusami ma questo argomento mi è poco chiaro...
E l'avevo capito
"germano88":
allora dai tuoi suggerimenti ho ricavato una base di $bU=(1,0-1);(0,1,0)$
Attento al calcolo di una base di $U$. Quella che hai indicato non è una base di $U$.
Forse hai commesso un errore di battitura: una base è formata dai vettori $(1,0,-2);(0,1,0)$.
Conosci la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica.
Sai calcolare $f(x,y,z)$?
Da questa formula ricava $f(1,0,-2)$ e $f(0,1,0)$...
$f(x,y,x)=(x-2z;y)$
scusa ma nn ho capito cosa vuoi dire...
Scusami se te lo dico, ma secondo me devi studiare meglio.
Ho l'impressione che tu non sappia cosa sia la matrice associata ad una applicazione lineare.
Quando l'avrai studiato meglio, ti accorgerai che, visto che conosci la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche, è facilissimo determinare
$f(1,0,0)$
$f(0,1,0)$
$f(0,0,1)$
Dopo potrai facilmente capire come agisce l'applicazione su un generico vettore $(x,y,z)$ di $RR^3$, ovvero potrai calcolare
$f(x,y,z)=x\cdot f(1,0,0)+y\cdot f(0,1,0)+z\cdot f(0,0,1)$.
Infine potrai seguire il procedimento che ti ho spiegato prima.
Spero di averti aiutato. Ora sto uscendo. Se non ci sarai riuscito, domani ti darò qualche altro suggerimento.
Ma ormai si tratta di applicare solo le definizioni.
Ho l'impressione che tu non sappia cosa sia la matrice associata ad una applicazione lineare.
Quando l'avrai studiato meglio, ti accorgerai che, visto che conosci la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche, è facilissimo determinare
$f(1,0,0)$
$f(0,1,0)$
$f(0,0,1)$
Dopo potrai facilmente capire come agisce l'applicazione su un generico vettore $(x,y,z)$ di $RR^3$, ovvero potrai calcolare
$f(x,y,z)=x\cdot f(1,0,0)+y\cdot f(0,1,0)+z\cdot f(0,0,1)$.
Infine potrai seguire il procedimento che ti ho spiegato prima.
Spero di averti aiutato. Ora sto uscendo. Se non ci sarai riuscito, domani ti darò qualche altro suggerimento.
Ma ormai si tratta di applicare solo le definizioni.
grazie ho capito...mi sono confuso.
dimmi se sbaglio!i dati i due vettori della base di $U$ posso scrivere l applicazione :
$f(1,0,-2)=1(2,0)+0(-2,1)-2(-1,1)=(4,-2)$
$f(0,1,0)=0(.,.)+1(-2,1)+0(.,.)=(-2,1)$
il rango di$(4,-2)(-2,1)$ =1 quindi la $dimf(U)=1$!
dimmi se sbaglio!i dati i due vettori della base di $U$ posso scrivere l applicazione :
$f(1,0,-2)=1(2,0)+0(-2,1)-2(-1,1)=(4,-2)$
$f(0,1,0)=0(.,.)+1(-2,1)+0(.,.)=(-2,1)$
il rango di$(4,-2)(-2,1)$ =1 quindi la $dimf(U)=1$!
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