Applicazione lineare

[16chicca90]

Sia $T:M_2,2(RR)rarr RR_2[t]$ definita da:

$T(x,y),(z,w)=(x+8y)t^2+(x+y+z)t+(y+2z+w)$

scrivi la matrice rispetto a due basi a tua scelta

$b=((1,1),(1,1))$

ma ora ho due problemi

non so che altra base scegliere e non so come scrivere la matrice...

penso di aver risolto tutti i dubbi dopo questo sulle matrici associate ....e ho l'esame domani ..

[mistake89]

Scusami cosa rappresenta la matrice $b$?

Comunque si opera sempre allo stesso modo: prendi due basi a scelta (io prenderei quelle canoniche no ) Determina l'immagine della prima e scrivi le componenti rispetto alla seconda mettondole in colonna. Se pensi a questo nulla potrà più turbarti

[16chicca90]

grazie mistake 89 ma ho sempre lo stesso problema non riesco a capire bene come faccio a trasformare t rispetto alle due basi

saresti così gentile da impostarmelo...mi risolveresti tantissimi dubbi

ps:$b$ è la base canonica che ho scelto

[mistake89]

Scusami forse hai le idee poco chiare. $B$ è una matrice, ma base di $M_2(RR)$ deve avere $4$ elementi. Direi piuttosto che una sua base è $((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))$, mentre una base di $RR_2[t]$ è $t^2,t,1$

Adesso calcoliamo l'immagine di $((1,0),(0,0))$ essa è $t^2+t$, le componenti sono ovviamente $(1,1,0)$ pertanto la prima colonna della nostra matrice è $((1),(1),(0))$.

Adesso continua tu

[16chicca90]

$A=((1,8,0,0),(1,1,1,0),(0,1,2,1))$

penso , sono quasi sicura che sia corretta così...

[16chicca90]

se considero la matrice prima citata come corretta ho che la bas del $ker t=(-8,1,7,-15)$
e la $dim immT=3$ quindi una possibile base è

$span((1,8,0),(1,1,1),(0,1,2))$

è corretto??

[cirasa]

"DAIANA":$A=((1,8,0,0),(1,1,1,0),(0,1,2,1))$

penso , sono quasi sicura che sia corretta così...

Giusta.

"DAIANA":se considero la matrice prima citata come corretta ho che la bas del $ker t=(-8,1,7,-15)$
e la $dim immT=3$ quindi una possibile base è

$span((1,8,0),(1,1,1),(0,1,2))$

è corretto??

Sai che $"ker" T$ è un sottospazio di $M_{2,2}(RR)$.
Quindi ciò che scrivi è sbagliato, in quanto $ker t=(-8,1,7,-15)$ non è certamente un sottospazio di $M_{2,2}(RR)$.
Come al solito, basta applicare la definizione: $"ker"T$ è l'insieme dei vettori dello spazio di partenza, ovvero delle matrici $((x,y),(z,w))$ tali che $T((x,y),(z,w))=0$.

Stesso discorso per $"imm"T$ che è un sottospazio di $RR_2[t]$.
Quello che scrivi, $span((1,8,0),(1,1,1),(0,1,2))$ è un sottospazio di $RR_2[t]$?

[16chicca90]

scusami cirasa, una domanda...
se devo calcolare il ker (t);
se A è la matrice che rappresenta T rispettoo a due base a tua scelta

non basta che risolvo il sistema
${((x+8y=0),(x+y+z=0),(y+2z+w=0)) $?

[cirasa]

Ni
Voglio dire che è vero che devi risolvere il sistema che si ottiene risolvendo $T((x,y),(z,w))=0$.
Ma poi devi anche scrivere la generica matrice del $"ker"T$ ottenendo una sua base.

Risolvendo il sistema:
${(x+8y=0),(x+y+z=0),(y+2z+w=0):}$
ottieni $infty^1$ soluzioni che, in funzione del parametro $t$, sono nella forma:
${(x=-8t),(y=t),(z=7t),(w=-15t):}$
Quindi la generica matrice di $"ker"T$ è $((-8t, t),(7t,-15t))$.
Una base di $"ker"T$ è formata dalla sola matrice $((-8, 1),(7,-15))$.

Non so se è chiaro. Dicendo che $"ker"T$ è generato da $(-8, 1, 7,-15)$ si intende che $"ker"T$ sia un sottospazio di $RR^4$, mentre come ben sai $"ker"T$ è sottospazio di $M_{2,2}(RR)$.