Applicazione lineare
Dati in $RR^3$ i vettori u(1,$alpha$,-1), v($beta$,1,1) e w(1,1,0), dire per quali valori di $alpha$ e $beta$ $in$ $RR$
a) u,v,w costituiscono una base di $RR^3$
b) esiste un'applicazione lineare f:$RR^3$ $to$ $RR^3$ tale che
f(u)=(0,1,1), f(v)=(1,-1,0), f(w)=(5,0,5)
il primo punto lo so risolvere, faccio il determinante dei tre vettori messi inuna matrice 3x3, ho solo un dubbio: i vettori vanno sempre disposti in colonna per mettere nella prima riga le componenti x, nella seconda le componenti y e nella terza le componenti z???? (al fine del calcolo del determinante le cose non cambiano, chiedo solo per metterli correttamente nella matrice)
il secondo punto chiedo a voi, grazie mille!
a) u,v,w costituiscono una base di $RR^3$
b) esiste un'applicazione lineare f:$RR^3$ $to$ $RR^3$ tale che
f(u)=(0,1,1), f(v)=(1,-1,0), f(w)=(5,0,5)
il primo punto lo so risolvere, faccio il determinante dei tre vettori messi inuna matrice 3x3, ho solo un dubbio: i vettori vanno sempre disposti in colonna per mettere nella prima riga le componenti x, nella seconda le componenti y e nella terza le componenti z???? (al fine del calcolo del determinante le cose non cambiano, chiedo solo per metterli correttamente nella matrice)
il secondo punto chiedo a voi, grazie mille!
Risposte
Non importa, i vettori li puoi mettere per riga o per colonna.
Puoi anche scambiare l'ordine, tanto stai cercando i valori dei parametri $\alpha$ e $\beta$
per cui hai $det = 0$ .
Puoi anche scambiare l'ordine, tanto stai cercando i valori dei parametri $\alpha$ e $\beta$
per cui hai $det = 0$ .
Ciao!
Per il secondo punto io direi di sfruttare il fatto che f è lineare.
quindi, ad esempio,
$f(u)=f(1,\alpha, -1)=f(1*(1,0,0)+\alpha*(0,1,0)-1*(0,0,1))=1*f(1,0,0)+\alpha*f(0,1,0)-1*f(0,0,1) = ... $
Così facendo otterrai un sistema lineare a tre incognite e dovresti concludere facilmente.
Ciao
Per il secondo punto io direi di sfruttare il fatto che f è lineare.
quindi, ad esempio,
$f(u)=f(1,\alpha, -1)=f(1*(1,0,0)+\alpha*(0,1,0)-1*(0,0,1))=1*f(1,0,0)+\alpha*f(0,1,0)-1*f(0,0,1) = ... $
Così facendo otterrai un sistema lineare a tre incognite e dovresti concludere facilmente.
Ciao
No Phoenyx, io ragionerei in questo modo:
se il det è $\ne 0$, allora $u,v,w$ è una base di $RR^3$ e una tale applicazione lineare
esiste sicuramente.
I casi "critici" vanno studiati a parte.
se il det è $\ne 0$, allora $u,v,w$ è una base di $RR^3$ e una tale applicazione lineare
esiste sicuramente.
I casi "critici" vanno studiati a parte.
Quello che dici tu credo sia la dimostrazione per affermare che una tale applicazione esista.
Pensavo però che l'esercizio chiedesse di ricavare gli alpha e i beta esatti per i quali esiste, e allora se svolgi il sistema scopri che non tutti vanno bene.
Però potrei continuare a sbagliare nel ragionamento...
EDIT:ops! continuavo a sbagliare un calcolo molto semplice. La prima condizione è in effetti sufficiente per risolvere il problema. Grazie per l'appunto!
Pensavo però che l'esercizio chiedesse di ricavare gli alpha e i beta esatti per i quali esiste, e allora se svolgi il sistema scopri che non tutti vanno bene.
Però potrei continuare a sbagliare nel ragionamento...
EDIT:ops! continuavo a sbagliare un calcolo molto semplice. La prima condizione è in effetti sufficiente per risolvere il problema. Grazie per l'appunto!
Se leggi il testo dice: "dire per quali valori di $alpha$ e $beta$ esiste un'applicazione ..."
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