Applicazione lineare.

[galles90]

Buongiorno,

Vi riporto la dimostrazione di una proposizione sull'applicazioni lineari. C'è un punto $ **$ della dim. che non mi è molto chiaro.
Sia $f:K^n to K^m $ lineare se è soltanto se $pr_j circ f(x) : K^n to K^m $ lineare per ogni $j=1,2,...,n$

P.s \(\displaystyle pr_j \) è la proiezione j-esima di \(\displaystyle K^n \).
Dimostrazione:
1) Se $f$ è lineare si ha che dal prodotto di due applicazioni lineari è lineare.
2) Inversamente posto \(\displaystyle pr_j\circ f(\mathbf{x})=a_{j1}x_1+...+a_{jn}x_n. \) e considerata la matrice \(\displaystyle A \) di tipo \(\displaystyle (m,n) \) su \(\displaystyle K \) si ha:
$**$ \(\displaystyle f(\mathbf{x})=(pr_1\circ f(\mathbf{x}),...,pr_m\circ f(\mathbf{x}))=(a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n,...,a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=f_{A}(\mathbf{x})\).

L'unico punto $**$ che non mi è chiaro il resto è tutto ok.
Cioè voglio dire, non riesco a capire il collegamento che ha fatto in questa relazione
\(\displaystyle f(\mathbf{x})=(pr_1\circ f(\mathbf{x}),...,pr_m\circ f(\mathbf{x}))\).

Cordiali saluti.

[Cantor99]

Se non sbaglio vuole usare il seguente fatto
"$f:V_n->V'_m$ è lineare se e solo se esiste una matrice $A in K^(m,n)$ tale per cui $f=f_A$, dove $f_A: x in K^n -> Ax in K^m$.
Spero di ricordare bene

[galles90]

Scusami se ti rispondo ora ma ho avuto una serie di problemi.

Ci sono su questo \(\displaystyle f=f_A \) tutto chiaro, il mio problema è sul collegamento tra
questo \(\displaystyle pr_j\circ f(\mathbf{x})=........ \) e questo \(\displaystyle f(\mathbf{x})=(pr_1\circ f(\mathbf{x}),...,pr_m\circ f(\mathbf{x}).... \)
cioè come lo fa ?

[Cantor99]

In generale se hai $x=(x_1,...,x_n)inK^n$ è $pr_j(x)=x_j$ dunque $x=(pr_1(x),...,pr_n(x))$

Ha posto poi $pr_j(f(x))=...$ per far uscire $f_A$

[galles90]

Grazie, ora mi è tutto più chiaro !
Ciao