Applicazione lineare

[MarcoPierro]

Salve questo è un esercizio d'esame :

Sia $F_A$ l'applicazione lineare determinata dalla matrice

$A= ((2,0,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,0))$

$1) F_A$ è iniettiva?

$2) (1,1,1)\in F_A(RR^4)?$

$3)$ Qual è la matrice associata ad $F_A$ nel riferimento naturale di $RR^4 ?$

$4)$ Sia $R = (1,1,0,0),(1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,1,1,0)$ un riferimento di $RR^4$. Determinare $M_R(F_A)$

L'applicazione lineare che ho impostato è giusta?

$f(x,y,z,t) -> (2x,x+z,y)$ che va da $RR^4 -> RR^3$

Per gli altri passaggi ho bisogno di una mano

[Weierstress]

Ciao. Devi lavorare direttamente sulla matrice. Ad esempio, per determinare se è iniettiva ti basta studiare la dimensione del kernel (spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato).

[MarcoPierro]

"Weierstress": Devi lavorare direttamente sulla matrice.

Lo so ma non so che fare

[Weierstress]

Beh nel resto del messaggio ti ho dato un suggerimento. Inizia da quello, che hai risolto il punto a.

Per il b è ancora più facile, perché devi solo verificare che il vettore appartenga all'immagine (una base dell'immagine è un insieme massimale di colonne linearmente indipendenti della matrice rappresentativa).

[MarcoPierro]

L'applicazione lineare è giusta?

Il punto b l'ho risolto (semplice), per l'iniettività ho trovato che il rango della matrice è $3$, che è la dimensione della mia $Im(f)$, dunque $dimKer = dimV - dim(Im) = 1 \ne 0$ quindi non è iniettiva.

[MarcoPierro]

Aiuto potete controllare se ho sbagliato anche i pass. precedenti?

Per il punto 3 la matrice associata al riferimento naturale di $RR^4$ è quella già descritta giusto?
Per il punto 4 ho sostituito $f(1,1,0,0), f(1,0,0,1), f(0,1,0,0), f(0,1,1,0)$ nell'applicazione lineare e ho trovato :

$M_R(F_A) = ((2,2,0,0),(2,1,0,1),(1,0,0,1),(0,0,1,1))$