Applicazione lineare
Buonasera a tutti,da molto seguo il vostro forum e mi è sempre stato molto utile,adesso non avendo trovato una risposta al mia domanda ho decisono di chiedere il vostro aiuto.
Grazie
(Ho allegato il problema in un immagine perchè non so scrivere in modo matematico!
)
Grazie
(Ho allegato il problema in un immagine perchè non so scrivere in modo matematico!
)
Risposte
Dato che non ho niente da fare ...
a)
innanzitutto la matrice associata ha come colonne le immagini dei vettori della base canonica.
Abbiamo già $phi((1),(0),(0))$
Sfruttando la linearità dell'applicazione è immediato vedere che:
$phi((0),(1),(0))= phi((1),(1),(0)) - phi((1),(0),(0))=((1),(1),(-3))$
$phi((0),(0),(1))= phi((1),(1),(1)) - phi((1),(1),(0))=((2),(-1),(0))$
da cui la matrice associata $ M_{C,C}=[ ( 1,2,1 ),( -1,-1,1 ),( 1,0,-3) ] $
b)
Suriettività significa che $Im(f)=RR^3$. Sfruttando il teorema nullità più rango (o th. delle dimensioni ) possiamo trovare la dimensione dell'immagine e, se essa è $3$, concludere che l'applicazione è suriettiva.
Il $ker(phi)={X in RR^3 | phi(X)=0_{RR^3}}$ però non è banale e ha dimensione pari a $1$. Esso è $ker(phi)= langle((3),(-2),(1))rangle$.
Pertanto $dimIm(f)= 3-1=2$ e tale applicazione non è suriettiva.
c)
Per vedere se $v in Im(phi)$ è necessario valutare se esistono dei coefficienti $a,b$ tali per cui questo vettore può essere generato dall'immagine.
A proposito, una base dell'immagine è data evidentemente da due vettori linearmente indipendenti della matrice associata, quali $ ((1),(-1),(1)),((2),(-1),(0)) $.
pertanto otteniamo il seguente sistema: $ ((6),(-2),(-2))=a((1),(-1),(1))+b ((2),(-1),(0)) $ , soddisfatto per $a=-2$ e $b=4$.
Quindi il vettore sta nell'immagine.
Nota bene che se l'applicazione fosse stata suriettiva allora si sarebbe potuto rispondere alla c) immediatamente in quanto ogni vettore di $RR^3$ sarebbe stato generato da $Im(f)$.
a)
innanzitutto la matrice associata ha come colonne le immagini dei vettori della base canonica.
Abbiamo già $phi((1),(0),(0))$
Sfruttando la linearità dell'applicazione è immediato vedere che:
$phi((0),(1),(0))= phi((1),(1),(0)) - phi((1),(0),(0))=((1),(1),(-3))$
$phi((0),(0),(1))= phi((1),(1),(1)) - phi((1),(1),(0))=((2),(-1),(0))$
da cui la matrice associata $ M_{C,C}=[ ( 1,2,1 ),( -1,-1,1 ),( 1,0,-3) ] $
b)
Suriettività significa che $Im(f)=RR^3$. Sfruttando il teorema nullità più rango (o th. delle dimensioni ) possiamo trovare la dimensione dell'immagine e, se essa è $3$, concludere che l'applicazione è suriettiva.
Il $ker(phi)={X in RR^3 | phi(X)=0_{RR^3}}$ però non è banale e ha dimensione pari a $1$. Esso è $ker(phi)= langle((3),(-2),(1))rangle$.
Pertanto $dimIm(f)= 3-1=2$ e tale applicazione non è suriettiva.
c)
Per vedere se $v in Im(phi)$ è necessario valutare se esistono dei coefficienti $a,b$ tali per cui questo vettore può essere generato dall'immagine.
A proposito, una base dell'immagine è data evidentemente da due vettori linearmente indipendenti della matrice associata, quali $ ((1),(-1),(1)),((2),(-1),(0)) $.
pertanto otteniamo il seguente sistema: $ ((6),(-2),(-2))=a((1),(-1),(1))+b ((2),(-1),(0)) $ , soddisfatto per $a=-2$ e $b=4$.
Quindi il vettore sta nell'immagine.
Nota bene che se l'applicazione fosse stata suriettiva allora si sarebbe potuto rispondere alla c) immediatamente in quanto ogni vettore di $RR^3$ sarebbe stato generato da $Im(f)$.
Grazie per la risposta!
Fortunatamente ho trovato il modo di fare l'esercizio,ed ormai ho anche superato l'esame da diveri mesi!
Fortunatamente ho trovato il modo di fare l'esercizio,ed ormai ho anche superato l'esame da diveri mesi!
bella
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