Applicazione lineare
Salve a tutti sono un nuovo utente e cercavo di risolvere alcuni punti da me ancora incompressibili sull'applicazione lineare.
Vi riporto tutto l'esercizio a seguito, premetto che ho scritto tutti punti perchè è la prima volta che mi faccio aiutare su una pagina e non so nemmeno se scriverò tutto giusto
Sia $ T: R^4 -> R^3 $ l'applicazione lineare definita da
$ T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+ 4x_3- 3x_4; 5x_1 +4x_2 +4x_3 +x_4; -2x_1 +x_2 -12x_3 + 10x_4) $
Determinare:
A) una matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di $ R^4 e di R^3 $ ;
B) equazione cartesiane di Ker(T), una base e la dimensione di Ker(T);
C) equazione parametriche di Im(T), una base e la dimensione di Im(T);
D) seT è iniettiva e/o suriettiva;
E) una base e la dimensione del sottospazio $ U: 2x1 -x2 +5x3 +x4=0 $ ;
F) l'immagine di U attraverso T specificandone base e dimensione;
G) le equazioni parametriche del sottospazio perpendicolare ad U;
Allora i punti a me ancora incompressibili sono gli ultimi due cioè punto (F) e (G)
[size=150]Punto A[/size] riducendo la matrice a scala mi uscirà fuori:
$ ( ( 1 , 0 , 4 , -3 ),( 5 , 4 , 4 , 1 ),( -2 , 1 , -12 , 10 ) ) $
[size=150]Punto B[/size] io di solito trovo prima l'equazioni cartesiane del Ker(T) e poi tutto il resto:
Equa. Cart. del Ker(T)=
$ { ( x_1 + 4x_3 - 3x_4=0 ),( x_2 -4x_3 +4x_4=0 ):} $
Equa. Para. del Ker(T)=
$ { ( x_1 + 4j -3k=0 => x_1= -4j +3k ),( x_2 -4j + 4k=0 => x_2= 4j -4k ),( x_3=j ),( x_4=k ):} $
Base del Ker(T)=
$ {(-4j , +4j , j , 0) j in R; (3k , -4k , 0 , k) k in R}=>{( -4 , 4 , 1 , 0);(3 , -4 , 0 , 1)} $
Dim del Ker(T)= $ 2 $
[size=150]Punto C[/size]
Base di im(T)= $ {( 1 , 5 , -2); ( 0 , 4 , 1)} $
Dim di im(T)= $ 2 $
Equa.Para. im(T)=
$ { ( x1= alpha ),( x2= 5alpha + 4beta ),( x3= -2alpha + beta ):} $
[size=150]Punto D[/size]
T no iniettiva no surriettiva
[size=150]Punto E[/size] questo non sò se è giusto
$ 2x_1 -x_2 +5x_3 +x_4=0 $
Pongo $ x_1=a; x_3=b; x_4=c; $
$ -x_2= -2a +5b +c $
cambiando di segno
$ x_2= 2a +5b +c $
Quindi le basi saranno rispetto alle basi canoniche
$ (x_1 , x_2, x_3, x_4)= a(1 , 2 , 0 , 0) b(0 , 5 , 1 , 0) c(0 , 1 , 0 , 1) $
Dim(U)=3
ED ORA NON SO PIU' COSA FARE PER GLI ULTIMI DUE PUNTI NON SO PROPRIO DA DOVE INIZIARE, SPERO CHE MI AIUTERETE
Vi riporto tutto l'esercizio a seguito, premetto che ho scritto tutti punti perchè è la prima volta che mi faccio aiutare su una pagina e non so nemmeno se scriverò tutto giusto
Sia $ T: R^4 -> R^3 $ l'applicazione lineare definita da
$ T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+ 4x_3- 3x_4; 5x_1 +4x_2 +4x_3 +x_4; -2x_1 +x_2 -12x_3 + 10x_4) $
Determinare:
A) una matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di $ R^4 e di R^3 $ ;
B) equazione cartesiane di Ker(T), una base e la dimensione di Ker(T);
C) equazione parametriche di Im(T), una base e la dimensione di Im(T);
D) seT è iniettiva e/o suriettiva;
E) una base e la dimensione del sottospazio $ U: 2x1 -x2 +5x3 +x4=0 $ ;
F) l'immagine di U attraverso T specificandone base e dimensione;
G) le equazioni parametriche del sottospazio perpendicolare ad U;
Allora i punti a me ancora incompressibili sono gli ultimi due cioè punto (F) e (G)
[size=150]Punto A[/size] riducendo la matrice a scala mi uscirà fuori:
$ ( ( 1 , 0 , 4 , -3 ),( 5 , 4 , 4 , 1 ),( -2 , 1 , -12 , 10 ) ) $
[size=150]Punto B[/size] io di solito trovo prima l'equazioni cartesiane del Ker(T) e poi tutto il resto:
Equa. Cart. del Ker(T)=
$ { ( x_1 + 4x_3 - 3x_4=0 ),( x_2 -4x_3 +4x_4=0 ):} $
Equa. Para. del Ker(T)=
$ { ( x_1 + 4j -3k=0 => x_1= -4j +3k ),( x_2 -4j + 4k=0 => x_2= 4j -4k ),( x_3=j ),( x_4=k ):} $
Base del Ker(T)=
$ {(-4j , +4j , j , 0) j in R; (3k , -4k , 0 , k) k in R}=>{( -4 , 4 , 1 , 0);(3 , -4 , 0 , 1)} $
Dim del Ker(T)= $ 2 $
[size=150]Punto C[/size]
Base di im(T)= $ {( 1 , 5 , -2); ( 0 , 4 , 1)} $
Dim di im(T)= $ 2 $
Equa.Para. im(T)=
$ { ( x1= alpha ),( x2= 5alpha + 4beta ),( x3= -2alpha + beta ):} $
[size=150]Punto D[/size]
T no iniettiva no surriettiva
[size=150]Punto E[/size] questo non sò se è giusto
$ 2x_1 -x_2 +5x_3 +x_4=0 $
Pongo $ x_1=a; x_3=b; x_4=c; $
$ -x_2= -2a +5b +c $
cambiando di segno
$ x_2= 2a +5b +c $
Quindi le basi saranno rispetto alle basi canoniche
$ (x_1 , x_2, x_3, x_4)= a(1 , 2 , 0 , 0) b(0 , 5 , 1 , 0) c(0 , 1 , 0 , 1) $
Dim(U)=3
ED ORA NON SO PIU' COSA FARE PER GLI ULTIMI DUE PUNTI NON SO PROPRIO DA DOVE INIZIARE, SPERO CHE MI AIUTERETE
Risposte
Potresti modificare il tuo messaggio usando il sistema di formule di cui il sito è dotato?
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
spero che così vada bene
"lo_spartano":
Determinare:
A) una matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di $ R^4 $ e di $ R^3 $ ;
La matrice richiesta è unica, quindi devi scrivere la matrice associata e non "una".
"lo_spartano":
F) l'immagine di U attraverso T specificandone base e dimensione;
(F) Una volta che hai una base di \( U \), trovare l'immagine di \( U \) attraverso \( T \) è immediato, perché l'immagine è generata dalle immagini dei vettori della base che possiedi. Da lì, attraverso opportune considerazioni sull'indipendenza lineare delle immagini ottenute, stabilisci la dimensione e scegli quindi una base.
"Riccardo Desimini":
(F) Una volta che hai una base di \( U \), trovare l'immagine di \( U \) attraverso \( T \) è immediato, perché l'immagine è generata dalle immagini dei vettori della base che possiedi. Da lì, attraverso opportune considerazioni sull'indipendenza lineare delle immagini ottenute, stabilisci la dimensione e scegli quindi una base.
se mi faresti vedere i passaggi te ne sarei veramente grato perché so come si trova teoricamente ma praticamente non l'ho mai vista e non trovo nemmeno esempi su dove guardare.
Il sottospazio \( U \) è descritto dall'equazione cartesiana
\[ U : 2x_1 - x_2 + 5x_3 + x_4 = 0 \]
da cui
\[ x_2 = 2x_1 + 5x_3 + x_4 \]
e quindi abbiamo le soluzioni
\[ U = \lbrace ((x_1, 2x_1+5x_3+x_4, x_3, x_4) : x_1, x_3, x_4 \in \mathbb{R} \rbrace \]
La decomposizione seguente fornisce facilmente una base di \( U \) e ci fa capire che tale spazio ha dimensione \( 3 \):
\[ (x_1, 2x_1+5x_3+x_4, x_3, x_4) = x_1\, (1, 2, 0, 0) + x_3\, (0, 5, 1, 0) + x_4\, (0, 1, 0, 1) \]
Una base di \( U \) è allora
\[ B_U = \left ( (1, 2, 0, 0), (0, 5, 1, 0), (0,1,0,1) \right ) \]
Ora che possiedi una base di \( U \), per ottenere l'immagine di \( U \) attraverso \( T \) è sufficiente calcolare le immagini dei vettori di \( B_U \) attraverso \( T \), cioè le immagini \( T\left ( (1,2,0,0) \right ) \), \( T\left ( (0,5,1,0) \right ) \), \( T\left ( (0,1,0,1) \right ) \).
A te l'onore.
\[ U : 2x_1 - x_2 + 5x_3 + x_4 = 0 \]
da cui
\[ x_2 = 2x_1 + 5x_3 + x_4 \]
e quindi abbiamo le soluzioni
\[ U = \lbrace ((x_1, 2x_1+5x_3+x_4, x_3, x_4) : x_1, x_3, x_4 \in \mathbb{R} \rbrace \]
La decomposizione seguente fornisce facilmente una base di \( U \) e ci fa capire che tale spazio ha dimensione \( 3 \):
\[ (x_1, 2x_1+5x_3+x_4, x_3, x_4) = x_1\, (1, 2, 0, 0) + x_3\, (0, 5, 1, 0) + x_4\, (0, 1, 0, 1) \]
Una base di \( U \) è allora
\[ B_U = \left ( (1, 2, 0, 0), (0, 5, 1, 0), (0,1,0,1) \right ) \]
Ora che possiedi una base di \( U \), per ottenere l'immagine di \( U \) attraverso \( T \) è sufficiente calcolare le immagini dei vettori di \( B_U \) attraverso \( T \), cioè le immagini \( T\left ( (1,2,0,0) \right ) \), \( T\left ( (0,5,1,0) \right ) \), \( T\left ( (0,1,0,1) \right ) \).
A te l'onore.
"Riccardo Desimini":
.
A te l'onore.
Grazie mille Riccardo ci sono riuscito
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