Applicazione lineare

[marixg]

salve sto facendo un esercizio che pero' non mi è chiaro .

sia $V$ lo spazio delle matrici $X$ $3x3$ reali tali che $X^(t)=-X$

sia $f$ l'applicazione lineare da $V$ in se stesso tale che $f(X)=AX+XA$ dove $A=$ $((0,1,-1),(1,0,1),(-1,1,0))$


ho gia' provato che

$ E1$=$((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0))$
$ E2$=$((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0))$
$ E3$=$((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))$

sono una base di $V$ (come mi chiedeva l'esercizio)

ora devo determinare dimensione e base di imf ed kerf.

io mi sono calcolata la matrice associata ad f rispetto alla base scritta sopra ed ho trovato una matrice $9x3$
è giusto??? deve venire $9x3$???

ho trovato che $dim imf=3$
kerf ha dim 6 ( poiche $dimkerf=dimv-dimimf=9-3=6$) è giusto?

ma poi per trovare kerf ottengo che è formato solo dalla matrice nulla $3x3$ ma non è possibile! non doveva avere dim 6???

oltre a questi dubbi ne ho altri


l'esercizio chiede di dire se f è diagonalizzabile e in tal caso trovare una base di autovettori.. ma come fare se la mia matrice è rettanglare???

poi chiede di dire se $f^(4)=f°f°f°f$ sia diagonalizzabile...

[Pierlu11]

La matrice rappresentativa dovrebbe venire 3x3 poiché i tre vettori colonna sono le coordinate delle immagini dei vettori della basa espressi come combinazione di quei $ 3 $ vettori ( $ {E_1,E_2.E_3} $ )!

La dimensione di $ V $ non è 9 ma è 3 poiché la base è costituita da soli 3 vettori... ad avere dimensione 9 è lo spazio che lo contiene cioè $ M_3(K) $ ; dunque $ dimKer(f)=3-3=0 $ .

[Maci86]

Scusa, domanda sciocca:
$((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)) in V$
Ma non è ottenibile dalla tua base..

[Pierlu11]

Quella matrice non appartiene a $ V $ ...

[marixg]

"Pierlu11":La matrice rappresentativa dovrebbe venire 3x3 poiché i tre vettori colonna sono le coordinate delle immagini dei vettori della basa espressi come combinazione di quei $ 3 $ vettori ( $ {E_1,E_2.E_3} $ )!

La dimensione di $ V $ non è 9 ma è 3 poiché la base è costituita da soli 3 vettori... ad avere dimensione 9 è lo spazio che lo contiene cioè $ M_3(K) $ ; dunque $ dimKer(f)=3-3=0 $ .

e quindi per esempio per ottenere la prima colonna della matrice?

[Pierlu11]

Ad esempio $ f(E_1)=( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ),( -1 , -1 , 0 ) ) =E_2+E_3rArr( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $ è la prima colonna della matrice associata...

[Maci86]

Ahn, $X^t$ è $X^T$, vuol dire trasposta, pensavo fosse una potenza..
Allora quello che devi fare è vedere dove vanno i vettori della base:
$f(E_1)=((0,1,-1),(1,0,1),(-1,1,0))((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0))+((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0))((0,1,-1),(1,0,1),(-1,1,0))=$
$=((-1,0,0),(0,1,0),(-1,-1,0))+((1,0,1),(0,-1,1),(0,0,0))=((0,0,1),(0,0,1),(-1,-1,0))$
$f(E_2)=((0,1,-1),(1,0,1),(-1,1,0))((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0))+((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0))((0,1,-1),(1,0,1),(-1,1,0))=$
$=((1,0,0),(-1,0,1),(0,0,-1))+((-1,1,0),(0,0,0),(0,-1,1))=((0,1,0),(-1,0,1),(0,-1,0))$
$f(E_3)=((0,1,-1),(1,0,1),(-1,1,0))((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))+((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))((0,1,-1),(1,0,1),(-1,1,0))=$
$=((0,1,1),(0,-1,0),(0,0,1))+((0,0,0),(-1,1,0),(-1,0,-1))=((0,1,1),(-1,0,0),(-1,0,0))$
Queste matrici così ottenute saranno la base dello spazio di arrivo:
$f(V)=<((0,0,1),(0,0,1),(-1,-1,0)),((0,1,0),(-1,0,1),(0,-1,0)),((0,1,1),(-1,0,0),(-1,0,0))> =$
$= <((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0)),((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0)),((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))> =V$
Avendo la nostra funzione rango massimo il ker sarà semplicemente:
$ker(f)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$

[marixg]

"Pierlu11":Ad esempio $ f(E_1)=( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ),( -1 , -1 , 0 ) ) =E_2+E_3rArr( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $ è la prima colonna della matrice associata...

scusa non capisco come hai ottunuto la prima colonna..
procedimento che hai scritto l'ho capito, non capisco solo il passo finale

[Pierlu11]

Nella prima colonna ci sono le coordinate dell'immagine dl primo vettore della base relative a quella stessa base (Siamo in un endomorfismo...); quindi $ f(E_1)=0\cdotE_1+1 \cdotE_2+1 \cdot E_3 $ cioè le coordinate sono $ ( 0 , 1 ,1 ) $ e di conseguenza la prima colonna è quella che ti ho scritto...

[marixg]

ci sono