Applicazione Lineare :?:
Secondo voi come si risolve questo esercizio???
Sia data la base
B= { $((1),(0),(1))$ , $((0),(1),(1))$ , $((0),(1),(0))$} di R^3
e sia f:R^3---->R^3 l'applicazione lineare definita da:
f(x1 x2 x3)=$((x1+x2+x3),(x1-x2),(2x2+x3))$
1)si scriva la matrice che rappresenta l'applicazione f rispetto alla base canonica di R^3 nel dominio e nel codominio.
2)si scriva la matrice che rappresenta f rispetto alla base B nel dominio e nel codominio.
3)si determini se f sia biiettiva(cioè un isomorfismo)
Allora il punto 1 l'ho svolto così:
$((1,1,1),(1,-1,0),(0,2,1))$
poi però non sò come fare il 2 e il 3.
Mi aiutate???:)
Sia data la base
B= { $((1),(0),(1))$ , $((0),(1),(1))$ , $((0),(1),(0))$} di R^3
e sia f:R^3---->R^3 l'applicazione lineare definita da:
f(x1 x2 x3)=$((x1+x2+x3),(x1-x2),(2x2+x3))$
1)si scriva la matrice che rappresenta l'applicazione f rispetto alla base canonica di R^3 nel dominio e nel codominio.
2)si scriva la matrice che rappresenta f rispetto alla base B nel dominio e nel codominio.
3)si determini se f sia biiettiva(cioè un isomorfismo)
Allora il punto 1 l'ho svolto così:
$((1,1,1),(1,-1,0),(0,2,1))$
poi però non sò come fare il 2 e il 3.
Mi aiutate???:)
Risposte
Per il 2)
Beh , sia $C$ la matrice associata a $f$ rispetto alla base $B$. Tu sai che la matrice $A$ (quella che hai scritto te) e la nostra $B$ sono simili.
Ciò vuol dire che $EE ! D \in GL(3,RR) t.c C=D^-1A*D$. Dove $D$ è la matrice di passaggio dalla base canonica alla base $B$-
Per il 3) Ti serve solo un po di ripasso di teoria
.
Beh , sia $C$ la matrice associata a $f$ rispetto alla base $B$. Tu sai che la matrice $A$ (quella che hai scritto te) e la nostra $B$ sono simili.
Ciò vuol dire che $EE ! D \in GL(3,RR) t.c C=D^-1A*D$. Dove $D$ è la matrice di passaggio dalla base canonica alla base $B$-
Per il 3) Ti serve solo un po di ripasso di teoria
.
quindi in teoria devo fare un cambiamento di base,se non sbaglio...però
non sò come trovare D,cioè che calcoli devo svolgere.
Sisi per il 3 non c'è problema,è il 2 che non riesco
non sò come trovare D,cioè che calcoli devo svolgere.
Sisi per il 3 non c'è problema,è il 2 che non riesco
"francescoric92":
quindi in teoria devo fare un cambiamento di base,se non sbaglio...però
non sò come trovare D,cioè che calcoli devo svolgere.
Sisi per il 3 non c'è problema,è il 2 che non riesco
Sai trovare la matrice di passaggio da $B_c$ a $B$?
Ti scrivi i vettori di $B$ come combinazione lineare dei vettorii della base canonica.
Hai
$(1,0,1)=1e_1+0e_2+1e_3$
$(0,1,1)=0e_1+1e_2+1e_3$
$(0,1,0)=0e_1+1e_2+0e_3$
quindi $D=((1,0,0),(0,1,1),(1,1,0))$, Ora non ti resta da trovare che $D^(-1)$. Nota che $det(D)=-1$. Calcoliamo la matrice dei cofattori
$D_1^1=-1 , D_2^1=1 , D_3^1=-1$
$D_1^2=0, D_2^2=0 , D_3^2=-1$
$D_1^3=0, D_2^3=-1, D_3^3=1$ si ha $cof(D)=((-1,1,-1),(0,0,-1),(0,-1,1))$
Da cui $D^-1=1/det(D)cof(D)^T=((1,0,0),(-1,0,1),(1,1,-1))$
Da cui $C=D^(-1)AD=((1,1,2),(1,0,1),(1,-1,0))$ che è la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $B$.
in linea generale adesso mi è più chiaro,solamente non capisco come hai fatto la matrice dei cofattori
Gli $A_i^j$ sono i complementi algebrici.
ah grazie,quindi per calcolarli è simile al procedimento del determinante solo che qui si calcola per ogni numero 
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