Applicazione lineare
ragazzi mi serve un aiuto
data la funzione f W--R^3 dove W e lo spazio generato da (0,3,1) e (1,4,1)
e so che f(0,3,1)= (-1,5,2) e f(0,3,1) = (0,6,2)
Come faccio ora a definire la legge della funzione ?! l'esercizio mi chiede di dimostrare che è un isomorfismo !!! ma io mi chiedo come fa a essere un isomorfismo se l'insieme di partenza e un sottospazio di R^3
data la funzione f W--R^3 dove W e lo spazio generato da (0,3,1) e (1,4,1)
e so che f(0,3,1)= (-1,5,2) e f(0,3,1) = (0,6,2)
Come faccio ora a definire la legge della funzione ?! l'esercizio mi chiede di dimostrare che è un isomorfismo !!! ma io mi chiedo come fa a essere un isomorfismo se l'insieme di partenza e un sottospazio di R^3
Risposte
C'è un errore,per caso è $f(1,4,1)=(0,6,2)$?
Evidentemente $f$ per come definita non può essere un isomorfismo. Procediamo per gradi.
Te hai $W = < (1,4,1) , (0,3,1) > sube RR^3$ si verifica facilmente che la dimensione di $W$ è 2 . (i generatori non sono proporzionali!). Dati ora $(-1,5,2),(0,6,2) \in RR^3$ , verificato che ${(1,4,1) ,(0,3,1) }$ è una base di $W$ , sai che $EE ! f : W -> RR^3$ tale che $f( 1,4,1)=(0,6,2) , f( 0,3,1)=(-1,5,2)$. Tale applicazione non può essere a priori un isomorfismo perché le dimensioni dei due spazi vettoriali sono differenti e tu sai che un isomorfismo tra due spazi vettoriali può sussistere se e solo se hanno uguale dimensione.
Tuttavia si nota facilmente che $dim Imf = 2$ , il che implica che i vettori immagini sono linearmente indipendenti.
Se consideri $K = <(0,6,2),(-1,5,2)>$ , allora $K$ ha dimensione 2.
Se consideri $\dot(f) : W -> K$ $\dot(f)( 1,4,1)=(0,6,2) , \dot(f)( 0,3,1)=(-1,5,2)$ allora hai un isomorfismo tra $W$ e $K$ , perché $\dot(f)$ trasforma vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti e inoltre i due spazi hanno la stessa dimensione.
Se qualcosa non ti torna , fai un fischio.
Evidentemente $f$ per come definita non può essere un isomorfismo. Procediamo per gradi.
Te hai $W = < (1,4,1) , (0,3,1) > sube RR^3$ si verifica facilmente che la dimensione di $W$ è 2 . (i generatori non sono proporzionali!). Dati ora $(-1,5,2),(0,6,2) \in RR^3$ , verificato che ${(1,4,1) ,(0,3,1) }$ è una base di $W$ , sai che $EE ! f : W -> RR^3$ tale che $f( 1,4,1)=(0,6,2) , f( 0,3,1)=(-1,5,2)$. Tale applicazione non può essere a priori un isomorfismo perché le dimensioni dei due spazi vettoriali sono differenti e tu sai che un isomorfismo tra due spazi vettoriali può sussistere se e solo se hanno uguale dimensione.
Tuttavia si nota facilmente che $dim Imf = 2$ , il che implica che i vettori immagini sono linearmente indipendenti.
Se consideri $K = <(0,6,2),(-1,5,2)>$ , allora $K$ ha dimensione 2.
Se consideri $\dot(f) : W -> K$ $\dot(f)( 1,4,1)=(0,6,2) , \dot(f)( 0,3,1)=(-1,5,2)$ allora hai un isomorfismo tra $W$ e $K$ , perché $\dot(f)$ trasforma vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti e inoltre i due spazi hanno la stessa dimensione.
Se qualcosa non ti torna , fai un fischio.
si scusa mi sono sbagliato f(1,4,1) = (0,6,2) e l'esercizio mi chiedeva dimostrare che e un endomorfismo non isomorfismo scusa
anche in quel caso, per come definita f , la risposta sarebbe negativa in quanto $W!=RR^3$
e infatti è quello che pensavo anche io ma stranamente l'esercizio dice di provare che e un'endomorfismo e per quello che mi sembrava molto strano, e inoltre dice considera f W---W scrivi la matrice associata
$f : W -> W$ come è definita?
appunto nn lo dice !!!! comincio a pensare che siano sbagliati gli esercizi !!!
ho un ultimo dubbio se ho una matrice A del tipo
1 1 -1
1 -1 -1
0 2 0
ricavare f^-1 (V) dove V <(100) (101)>
io l ho interpretata ricavando le controimmagini di (100) e (101)
1 1 -1
1 -1 -1
0 2 0
ricavare f^-1 (V) dove V <(100) (101)>
io l ho interpretata ricavando le controimmagini di (100) e (101)
rispetto a quale base di $RR^3$ è scritta $A$?
alle basi canoniche
beh allora hai ragione, $f^(-1)(V) = < f^(-1)(1,0,0) , f^(-1)(1,0,1)>$
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