Applicazione inversa
Ciao a tutti, mi aiutereste con questo quesito?
Ho un'applicazione lineare da $ R^3 $ a $ R^3 $ così definita
varphi $ (x_1,x_2,x_3)=(-x_1,+x_2,x_1+tx_2+(t+1)x_3,(t+1)x_2+(t+1)x_3) $
Devo determinare, nel caso in cui $ t=1 $, $ varphi^-1 (3,-1,2) $
Io ho prima calcolato il determinante e ho notato che è sempre uguale a 0 per qualsiasi valore di $ t $. Dunque, non è isomorfismo. Da ciò segue che non posso calcolare l'applicazione inversa. E' giusto? Se invece fosse stato isomorfismo, come avrei dovuto procedere?
Ho un'applicazione lineare da $ R^3 $ a $ R^3 $ così definita
varphi $ (x_1,x_2,x_3)=(-x_1,+x_2,x_1+tx_2+(t+1)x_3,(t+1)x_2+(t+1)x_3) $
Devo determinare, nel caso in cui $ t=1 $, $ varphi^-1 (3,-1,2) $
Io ho prima calcolato il determinante e ho notato che è sempre uguale a 0 per qualsiasi valore di $ t $. Dunque, non è isomorfismo. Da ciò segue che non posso calcolare l'applicazione inversa. E' giusto? Se invece fosse stato isomorfismo, come avrei dovuto procedere?
Risposte
$phi^(-1)$ non è necessariamente l’applicazione inversa ma la fibra
$varphi^(leftarrow)({(3,-1,2)})={vec(v) inRR^3:f(vec(v))=(3,-1,2)}$
Dove $varphi^(-1)=varphi^(leftarrow)$
Di fatto molto spesso quella che viene chiamata applicazione inversa di una funzione biettiva non è altro che la funzione che associa a un elemento del codominio la sua unica fibra
$varphi^(leftarrow)({(3,-1,2)})={vec(v) inRR^3:f(vec(v))=(3,-1,2)}$
Dove $varphi^(-1)=varphi^(leftarrow)$
Di fatto molto spesso quella che viene chiamata applicazione inversa di una funzione biettiva non è altro che la funzione che associa a un elemento del codominio la sua unica fibra
"anto_zoolander":
$phi^(-1)$ non è necessariamente l’applicazione inversa ma la fibra
$varphi^(leftarrow)({(3,-1,2)})={vec(v) inRR^3:f(vec(v))=(3,-1,2)}$
Dove $varphi^(-1)=varphi^(leftarrow)$
Di fatto molto spesso quella che viene chiamata applicazione inversa di una funzione biettiva non è altro che la funzione che associa a un elemento del codominio la sua unica fibra
D'accordo, ho provato ad impostare il sistema scrivendo come termini noti quelli del vettore; tuttavia, essendo il determinante = 0, il sistema risulta indeterminato o impossibile. Come devo procedere quindi?
Devi semplicemente risolvere
$(-x+y,x+y+2z,2y+2z)=(3,-1,2)$
o $((-1,1,0),(1,1,2),(0,2,2))((x),(y),(z))=((3),(-1),(2))$
$(-x+y,x+y+2z,2y+2z)=(3,-1,2)$
o $((-1,1,0),(1,1,2),(0,2,2))((x),(y),(z))=((3),(-1),(2))$
Io ho impostato questo sistema
$ { ( -x_1+x_2=3 ),( x_1+x_2+2x_3=-1 ),( 2x_1+2x_3=2 ):} $
ma non presenta soluzioni. Come devo comportarmi, quindi?
$ { ( -x_1+x_2=3 ),( x_1+x_2+2x_3=-1 ),( 2x_1+2x_3=2 ):} $
ma non presenta soluzioni. Come devo comportarmi, quindi?
sei sicuro? Svolgi i conti... vengono infinite soluzioni al variare di un parametro.
Ah ok, perdonami, è indeterminato... dunque, come concludo l'esercizio?
A me viene che l’insieme delle soluzioni è $S={(lambda-3,lambda,1-lambda) inRR^3:lambda inRR}$ ti torna?
Giusto, scusami, avevo sbagliato i conti! Allora scrivo le soluzioni e ho finito, giusto?
Yes.
Grazie infinite 
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