Applicazione Inversa

[HeroGian]

Ciao a tutti volevo chiedere un chiarimento riguardo al seguente esercizio:

data $f: RR^4 -> RR^6 f((a, b, x, y)) = (x+y, x+y, x+y, a+b, a+b, a+b)$
Calcolare:
1) $f^-1(1, 2, 1, 1, 0, 0)$ e $f^-1(2, 2, 2, 1, 1, 1)$

Non riesco a capire come calcolare l'inversa di questa funzione.. personalmente credevo bastasse trovare l'inversa della matrice associata alla funzione, ma dato che non è un endomorfismo ovviamente la matrice associata non è invertibile..
Grazie

[Kashaman]

si tratta di trovare le controimmagini di quei elementi.

[ciampax]

Diciamolo meglio: se $f:V\to W$ allora per ogni $w\in W$ si definisce

$f^{-1}(w)=\{v\in V\ :\ f(v)=w\}$

Questo dovrebbe suggerirti come procedere.

[HeroGian]

Vi ringrazio per le risposte ma non ho ancora capito
riuscireste a farmi un esempio pratico, grazie!

[ciampax]

Sai risolvere l'equazione $f(v)=w$? I $w$ sono i vettori noti che hai scritto.

[Sk_Anonymous]

E' sufficiente che tu risolva i due sistemi :
\(\displaystyle \begin{cases}x+y=1\\x+y=2\\x+y=1\\a+b=1\\a+b=0\\a+b=0\end{cases} \)
e
\(\displaystyle \begin{cases}x+y=2\\x+y=2\\x+y=2\\a+b=1\\a+b=1\\a+b=1\end{cases} \)

Il primo sistema è chiaramente incompatibile e quindi il vettore \(\displaystyle (1,2,1,1,0,0) \) non è l'immagine di nessun vettore del dominio. O ciò che è lo stesso, la f non è surgettiva.
Il secondo sistema si riduce a :
\(\displaystyle \begin{cases}x+y=2\\a+b=1\end{cases} \)
le cui soluzioni sono del tipo :
\(\displaystyle (a,1-a,x,2-x) \)
L'antimmagine di \(\displaystyle (2,2,2,1,1,1) \) in questo caso esiste ed è rappresentata ( per esempio) dal sottoinsieme :
\(\displaystyle L\{(0,1,0,2),(1,0,1,1)\} \)

[HeroGian]

perfetto ho capito grazie mille