Applicazione in $R_2(x)$

[marixg]

sia $R_2(X)$ lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 nella variabile x. si ponga
$p_1=h+1+x+hx^(2)$
$p_2=hx+hx^(2)$
$p_3=4x+hx^(2)+x^(2)$
a)determinare h in modo che formino una base .
sia f l'endomorfismo definito da $f(1)=p_2$ $f(x)=P_3$ $f(x^(2))=p_1$

b)si studi f al variare di $h$.
c) determinare $h$ per cui $h+1+2x+3x^(2)$ non sta in Imf.

non riesco a fare solo il punto c.
come dovrei procedere?

[perplesso1]

Ciao, premetto che sono fuori allenamento con questo tipo di cose cmq ho pensato si potrebbe fare così: calcola l'immagine mediante $f$ di un generico vettore di $R_2(x)$, se non ho sbagliato i conti viene

$f(ax^2+bx+c)= (ha+(h+1)b+hc)x^2+(a+4b+hc)x+(h+1)a$

se risulta $f(ax^2+bx+c) = 3x^2+2x+h+1$ allora devono valere contemporaneamente le tre equazioni

$ha+(h+1)b+hc = 3$
$a+4b+hc = 2$
$(h+1)a = h+1$

Domanda: per quali valori di $h$ questo sistema risulta incompatibile? la discussione del sistema falla tu che io mi scoccio. Saluti.