Applicazione diagonalizzabile sapendo immagine e spazio
Salve a tutti,
ho dei dubbi su questo esercizio teorico:
Dato V spazio vettoriale reale di dimensione 2, e T: V->V un'applicazione lineare t.c. dim(Im(T)) = 2.
Dimostrare o trovare un controesempio se T è diagonalizzabile.
Secondo me è diagonalizzabile, il fatto che l'immagine abbia la stessa dimensione di V mi fa pensare che la matrice associata sia di rango massimo e che possa avere 2 autovalori distinti.
Ringrazio chiunque voglia illuminarmi.
ho dei dubbi su questo esercizio teorico:
Dato V spazio vettoriale reale di dimensione 2, e T: V->V un'applicazione lineare t.c. dim(Im(T)) = 2.
Dimostrare o trovare un controesempio se T è diagonalizzabile.
Secondo me è diagonalizzabile, il fatto che l'immagine abbia la stessa dimensione di V mi fa pensare che la matrice associata sia di rango massimo e che possa avere 2 autovalori distinti.
Ringrazio chiunque voglia illuminarmi.
Risposte
Prova a pensare a come diagonalizzeresti quell'applicazione e trova un problema equivalente alla diagonalizzazione di cui conosci la risolubilità.
Comunque direi che il tuo ragionamento è doppiamente sbagliato. Non solo i due autovalori potrebbero tranquillamente non essere distinti (l'identità per farti un esempio banale è diagonalizzabile ma non ha autovalori distinti), ma una matrice di rango massimo potrebbe non essere diagonalizzabile (persino nel caso complesso, e qui sei addirittura nei reali).
Comunque direi che il tuo ragionamento è doppiamente sbagliato. Non solo i due autovalori potrebbero tranquillamente non essere distinti (l'identità per farti un esempio banale è diagonalizzabile ma non ha autovalori distinti), ma una matrice di rango massimo potrebbe non essere diagonalizzabile (persino nel caso complesso, e qui sei addirittura nei reali).
Innanzi tutto ti ringrazio della celerità della tua risposta,
L'unica conclusione a cui riesco ad arrivare a partire da quei dati è che T sia un'applicazione biunivoca poiché di nucleo nullo e con la dimensione dell'immagine uguale a quella di V.
Mi chiedo se sia possibile a partire da ciò arrivare a dire che la matrice associata a T è simmetrica e di conseguenza diagonalizzabile.
L'unica conclusione a cui riesco ad arrivare a partire da quei dati è che T sia un'applicazione biunivoca poiché di nucleo nullo e con la dimensione dell'immagine uguale a quella di V.
Mi chiedo se sia possibile a partire da ciò arrivare a dire che la matrice associata a T è simmetrica e di conseguenza diagonalizzabile.
Siccome esistono controesempi piuttosto semplici direi che stai andando nella direzione sbagliata. La direzione giusta è che esistono controesempi.
La questione va analizzata comunque nel seguente modo. Il polinomio caratteristico di quella applicazione lineare è un polinomio di secondo grado. Siccome la dimensione dell'immagine è 2 allora la matrice ha rango massimo e quindi 0 non è una radice del polinomio caratteristico. Tenendo conto che le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori, sai trovare un controesempio?
Oltre a questi controesempi ci sono anche alcuni che sono non diagonalizzabili anche in \(\mathbb{C}\). Queste matrici hanno due autovalori uguali.
La questione va analizzata comunque nel seguente modo. Il polinomio caratteristico di quella applicazione lineare è un polinomio di secondo grado. Siccome la dimensione dell'immagine è 2 allora la matrice ha rango massimo e quindi 0 non è una radice del polinomio caratteristico. Tenendo conto che le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori, sai trovare un controesempio?
Oltre a questi controesempi ci sono anche alcuni che sono non diagonalizzabili anche in \(\mathbb{C}\). Queste matrici hanno due autovalori uguali.
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