Applicazione di un teorema algebrico

[Sk_Anonymous]

Allora:

Data la relazione A^2 - 5A + 6I = 0 (I : matrice identità, 0 : matrice nulla), so che A è di ordine 5 (matrice 5x5) e che la traccia di A = 12. Determinare il polinomio caratteristico di A.

Svolgendo l'esercizio, si perviene alle due autosoluzioni t= 2 e t= 3 ( poichè A^2 - 5A + 6I = (A -2I)(A-3I) e i determinanti di ciascuno dei due fattori devono essere necessariamente uguali a 0 affinchè la relazione in ipotesi sia verificata).


Detto ciò, ho appreso solo 2 dei "possibili" 5 autovalori, inoltre non so nulla sulla loro molteplicità.

tuttavia il teorema: "sia il polinomio p(x) un qualsiasi polinomio nella variabile complessa x e sia t uno degli autovalori della matrice A. Se t è uno degli autovalori di A, allora P(t) è un autovalore di P (A)."

dovrebbe dirci che i possibili autovalori sono solo t=2 e t=3. Il problema è che non capisco come il teorema ci dica ciò

Qualcuno può aiutarmi? Ve ne sarei grato..

[Pappappero1]

Esiste una cosa che si chiama polinomio minimo di una matrice ed è il polinomio $P$ di grado minimo (e lo prendiamo monico) che soddisfa $P(A) = 0$. Questo polinomio divide sempre il polinomio caratteristico e ha come radici sempre tutti gli autovalori di $A$ (in genere con molteplicità più bassa della massima).

Perciò qui abbiamo diverse possibilità. Intanto, il polinomio minimo deve dividere $f = x^2 -5x +6 = (x -3)(x-2)$. Quindi a priori potresti avere tutti gli autovalori uguali a $2$, tutti gli autovalori uguali a $3$ oppure alcuni autovalori uguali a $2$ e alcuni uguali a $3$. Sapendo che la traccia è $12$, puoi usare la definizione di traccia per determinare quanti $2$ e quanti $3$ hai. Una volta che hai tutti gli autovalori basta calcolare il polinomio caratteristico.

[Sk_Anonymous]

thx ho risolto con teorema di Hamilton, proprio oggi me lo hanno spiegato

[Pappappero1]

Dovrebbe essere il Teorema di Hamilton-Cayley, che in pratica è il primo capoverso del mio post.