Applicabilità scorciatoia calcolo autovalori su matrice 3x3 rango 2
Di solito nelle matrici triangolari, per calcolare gli autovalori prendo gli autovalori delle sottomatrici della diagonale principale.
Ora ho una matrice 3x3 di rango 2
\[
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 5 \\
-1 & -1 & -2
\end{vmatrix}
\]
e mi chiedevo se ci fosse qualche metodo per calcolare gli autovalori in maniera rapida, anzichè utilizzare il metodo classico.
Ora ho una matrice 3x3 di rango 2
\[
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 5 \\
-1 & -1 & -2
\end{vmatrix}
\]
e mi chiedevo se ci fosse qualche metodo per calcolare gli autovalori in maniera rapida, anzichè utilizzare il metodo classico.
Risposte
@Caterpillar,
mi sfugge qualcosa, vorresti dire che \[
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 5 \\
-1 & -1 & -2
\end{vmatrix}
\] è una matrice triangolare ??
Saluti
P.S.= comunque, se fosse triangolare allora quanto scritto qui (che si dimostra) ti viene incontro! Insomma il metodo più adeguato è il polinomio caratteristico (magari esistono altri metodo numerici, ma non saprei dirti in merito)
"Caterpillar":
Di solito nelle matrici triangolari, per calcolare gli autovalori prendo gli autovalori delle sottomatrici della diagonale principale.
Ora ho una matrice 3x3 di rango 2
\[
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 5 \\
-1 & -1 & -2
\end{vmatrix}
\]
e mi chiedevo se ci fosse qualche metodo per calcolare gli autovalori in maniera rapida, anzichè utilizzare il metodo classico.
mi sfugge qualcosa, vorresti dire che \[
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 5 \\
-1 & -1 & -2
\end{vmatrix}
\] è una matrice triangolare ??
Saluti
P.S.= comunque, se fosse triangolare allora quanto scritto qui (che si dimostra) ti viene incontro! Insomma il metodo più adeguato è il polinomio caratteristico (magari esistono altri metodo numerici, ma non saprei dirti in merito)
No assolutamente, lo so che non è una matrice triangolare. Volevo sapere se per caso c'era qualche altro metodo per il calcolo rapido degli autovalori che si potesse applicare a tale matrice
@Caterpillar,
il \( \det(\begin{Vmatrix} 0-\lambda & 0 & 0 \\ 3 & 2-\lambda & 5 \\ -1 & -1 & -2-\lambda \end{Vmatrix}) \) è per l'esattezza il polinomio \(-\lambda(\lambda^2 +1)\).. il calcolo degli autovalori in questo caso è davvero semplice! Devi sporcati un po le mani in ogni caso, ma qui applicando Laplace alla prima riga, e magari con qualche regoletta mnemonica per il calcolo dei determinanti, diventa banalissimo il calcolo... Quindi, o sono io a non aver capito cosa vuoi, o magari ti sei spiegato male!
Saluti
"Caterpillar":
No assolutamente, lo so che non è una matrice triangolare. Volevo sapere se per caso c'era qualche altro metodo per il calcolo rapido degli autovalori che si potesse applicare a tale matrice
il \( \det(\begin{Vmatrix} 0-\lambda & 0 & 0 \\ 3 & 2-\lambda & 5 \\ -1 & -1 & -2-\lambda \end{Vmatrix}) \) è per l'esattezza il polinomio \(-\lambda(\lambda^2 +1)\).. il calcolo degli autovalori in questo caso è davvero semplice! Devi sporcati un po le mani in ogni caso, ma qui applicando Laplace alla prima riga, e magari con qualche regoletta mnemonica per il calcolo dei determinanti, diventa banalissimo il calcolo... Quindi, o sono io a non aver capito cosa vuoi, o magari ti sei spiegato male!
Saluti
a dire il vero un metodo più veloce c'è..
ma solo con matrici di questo tipo $ ( ( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
ora..non ricordo esattamente il metodo, ma ricordo che potevi già dire che ha l'autovettore $ ((1),(1),(1)) $
ti dico che non ricordo esattamente il metodo, perchè ad esercitazione non ce l'avevano fatto vedere..ma me lo disse uno studente del quinto anno del corso di laurea in fisica..
ma solo con matrici di questo tipo $ ( ( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
ora..non ricordo esattamente il metodo, ma ricordo che potevi già dire che ha l'autovettore $ ((1),(1),(1)) $
ti dico che non ricordo esattamente il metodo, perchè ad esercitazione non ce l'avevano fatto vedere..ma me lo disse uno studente del quinto anno del corso di laurea in fisica..
@21zuclo,
non ho capito, quando dici:
qui si parla di autovalori, non è stato associato alcun \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\)...
Saluti
P.S.=\((1,1,1)\) è autovettore rispetto a quale autovalore?
Il metodo, spero non sia, magico.. 
"21zuclo":
a dire il vero un metodo più veloce c'è..
ma solo con matrici di questo tipo $ ( ( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
ora..non ricordo esattamente il metodo, ma ricordo che potevi già dire che ha l'autovettore $ ((1),(1),(1)) $
ti dico che non ricordo esattamente il metodo, perchè ad esercitazione non ce l'avevano fatto vedere..ma me lo disse uno studente del quinto anno del corso di laurea in fisica..
non ho capito, quando dici:"21zuclo":
a dire il vero un metodo più veloce c'è..
ma solo con matrici di questo tipo $ ( ( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
ora..non ricordo esattamente il metodo, ma ricordo che potevi già dire che ha l'autovettore $ ((1),(1),(1)) $
qui si parla di autovalori, non è stato associato alcun \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\)...
Saluti
P.S.=\((1,1,1)\) è autovettore rispetto a quale autovalore?
Il metodo, spero non sia, magico..
appena ho un attimo di tempo..ri-cerco il foglio dove l'avevo scritto..proprio per quella matrice 3x3 solo fatta da 2..
lo so che per avere l'autovettore bisogna avere l'autovalore.. e infatti ripeto..appena ho tempo ritrovo il foglietto
e lo scrivo qui..
lo so che per avere l'autovettore bisogna avere l'autovalore.. e infatti ripeto..appena ho tempo ritrovo il foglietto
e lo scrivo qui..
@21zuclo,
aspetterò!
Saluti
"21zuclo":
appena ho un attimo di tempo..ri-cerco il foglio dove l'avevo scritto..proprio per quella matrice 3x3 solo fatta da 2..
lo so che per avere l'autovettore bisogna avere l'autovalore.. e infatti ripeto..appena ho tempo ritrovo il foglietto
e lo scrivo qui..
aspetterò!
Saluti
"21zuclo":
a dire il vero un metodo più veloce c'è..
ma solo con matrici di questo tipo $ ( ( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
ora..non ricordo esattamente il metodo, ma ricordo che potevi già dire che ha l'autovettore $ ((1),(1),(1)) $
ti dico che non ricordo esattamente il metodo, perchè ad esercitazione non ce l'avevano fatto vedere..ma me lo disse uno studente del quinto anno del corso di laurea in fisica..
Direi che si tratta semplicemente di usare la definizione. Quella matrice è equivalente a \(\displaystyle 2\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) quindi direi che mi posso limitare a quella con tutti \(\displaystyle 1 \). Ora, per ogni \(\displaystyle (x,y,z)^{\intercal} \), si ha che
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x + y + z \\ x + y + z \\ x + y + z \end{pmatrix} = (x+y+z)\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
In realtà puoi dire qualcosa di simile per ogni matrice di rango \(\displaystyle 1 \), infatti la sua immagine è un sottospazio di dimensione 1.
Ok.. ne manca solamente uno.. cioè manca un autovalore ed il suo relativo autovettore..
Appena ho un attimo ricerco il foglietto..
Appena ho un attimo ricerco il foglietto..
"21zuclo":
Ok.. ne manca solamente uno.. cioè manca un autovalore ed il suo relativo autovettore..
Appena ho un attimo ricerco il foglietto..
Gli autovettori dello zero sono, per esempio, \(\displaystyle (2, -1, -1)^{\intercal} \) e \(\displaystyle (-1, 2, -1)^{\intercal} \). Ragionarci sopra è più educativo che cercare un foglietto
.Comunque in generale, se hai una matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} \mathbf{v} & \lambda_1 \mathbf{v} & \lambda_2\mathbf{v} \end{pmatrix} \), dove \(\displaystyle \mathbf{v} \) è un vettore allora hai che
\(\displaystyle \begin{pmatrix} \mathbf{v} & \lambda_1 \mathbf{v} & \lambda_2\mathbf{v} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = x\mathbf{v} + y\lambda_1\mathbf{v} + z\lambda_2\mathbf{v} = (x + y\lambda_1 + z\lambda_2)\mathbf{v}.\)
Siccome l'immagine della applicazione lineare associata è \(\displaystyle \mathbb{R}\mathbf{v} \) allora ogni autovettore associato ad un autovalore non nullo deve essere parallelo a \(\displaystyle \mathbf{v} \) (gli autovettori non associati a 0 appartengono all'immagine
). Quindi in particolare lo è \(\displaystyle \mathbf{v} \) il cui autovalore è \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, (1,\lambda_1, \lambda_2)^{\intercal}\rangle \). Quelli associati allo zero risolvono l'equazione lineare \(\displaystyle (x + y\lambda_1 + z\lambda_2)=0 \) e, ovviamente, te ne basta trovare 2 linearmente indipendenti (in matrici di dimensione 3).
"Caterpillar":
Di solito nelle matrici triangolari, per calcolare gli autovalori prendo gli autovalori delle sottomatrici della diagonale principale.
Ora ho una matrice 3x3 di rango 2
\[
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 5 \\
-1 & -1 & -2
\end{vmatrix}
\]
e mi chiedevo se ci fosse qualche metodo per calcolare gli autovalori in maniera rapida, anzichè utilizzare il metodo classico.
In questo caso è evidente che \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \) è un autovalore dello \(\displaystyle 0 \).
Hai inoltre che
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 5 \\
-1 & -1 & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\
3x + 2y + 5z \\
-x - y - 2z \end{pmatrix} \)
è evidente che se \(\displaystyle \mathbf{x} \) è un autovettore legato a quella matrice e non è \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \) allora deve avere \(\displaystyle x = 0 \). Ma, a parte questo, non sono al corrente di metodi più rapidi per trovarne altri due.
le cose dalla lettera a alla lettera c.. le sapevo
Solo le ultime 2 righe non sapevo..
non posso sapere..tutto! XD ..
Solo le ultime 2 righe non sapevo..
non posso sapere..tutto! XD ..
"21zuclo":
le cose dalla lettera a alla lettera c.. le sapevo
Solo le ultime 2 righe non sapevo..
non posso sapere..tutto! XD ..
Le ultime 2 righe sono conseguenza diretta dei 3 punti, quindi non si tratta di sapere ma di dedurre.
"vict85":
[quote="21zuclo"]le cose dalla lettera a alla lettera c.. le sapevo
Solo le ultime 2 righe non sapevo..
non posso sapere..tutto! XD ..
Le ultime 2 righe sono conseguenza diretta dei 3 punti, quindi non si tratta di sapere ma di dedurre.[/quote]si bé..comunque non ci avevo fatto attenzione più di tanto,
perchè non mi capiterà quasi mai una matrice con tutti gli $a_(ij)=\alpha$, con $\alpha \in RR, \alpha\ne 0$
va bé il forum è anche questo.. c'è sempre da scoprire cose nuove ogni volta
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