Appartenenza di un vettore all'immagine

[Lumcreative]

1) f : (x1,x2,x3,x4) € R^4 ----> (x4,0,x2,0) € R^4

2) f: (x,y,z) € R^3 ---> (y,x-z,-z) € R^3

Esiste un vettore che non sta in Imf? Come faccio a vedere se una app. lin. è suriettiva o meno?

(La domanda è la stessa per entrambi gli esercizi)

So che se dimV < dim V' allora è impossibile che la funzione sia suriettiva ma adesso che sono uguali?

[walter891]

prova a scrivere la matrice che rappresenta l'applicazione e ragiona su quella...

[Lumcreative]

$ ( ( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $

Il Rango della matrice associata alla applicazione lineare è 2 (dato che due righe sono nulle e le altre due sono non proporzionali)

Posso notare che la Dim è 2 quindi

Dim Imf + Dim Kerf = Dim V => $ 2 geq dim imf + dim kerf $ ?

Per essere suriettiva devo avere Imf = V' ma non riesco a riportarmela a questo caso, ci ragiono ma non mi viene niente.

[ansioso]

nel secondo caso in $RR^3$
$((0,1,0),(1,0,0),(0,-1,-1))$ il rango è 3 la dimensione di V è 3 la dim del ker è 0
quindi essendo $dimImf=r(A)=3=dim V$ questa f è surriettiva

nel primo invece apparte che mi ritrovo un'altra matrice
$((0,0,0,1),(0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0))$

ma il rango è sempre 2 la dimensione di V è 4 e la dim ker è 2

Quindi $dimImf=r(A)=2!=4=dim V$
ed essendo proprio diverse le due dimensioni la f non è suriettiva

io ho interpretato questo come esrcizio...