Appartenenza di un vettore a Im f e quesito su Ker f
Testo :
Si consideri l'applicazione lineare f:R^4 --> R^3 definita da :
f(x,y,z,t)=(x+2z-t,2x+z-t,x-z+2t)
a) trovare una base di ker f,una base di im f e le loro dimensioni.
b) dire se il vettore w = (2,0,2) appartiene a im f.
dim im f =3
dim ker f =1
base Im f ={(1,1,6);(2,-1,0);(-1,0,0)}
per determinare il ker f so che devo porre la f(x,y,z,t) pero viene tutto 0...come devo procedere?
come verifico il punto b) ?
grazie
Si consideri l'applicazione lineare f:R^4 --> R^3 definita da :
f(x,y,z,t)=(x+2z-t,2x+z-t,x-z+2t)
a) trovare una base di ker f,una base di im f e le loro dimensioni.
b) dire se il vettore w = (2,0,2) appartiene a im f.
dim im f =3
dim ker f =1
base Im f ={(1,1,6);(2,-1,0);(-1,0,0)}
per determinare il ker f so che devo porre la f(x,y,z,t) pero viene tutto 0...come devo procedere?
come verifico il punto b) ?
grazie
Risposte
Per il punto b ti basta valcolare f(w) e vedere se viene il vettore 0 o no.
Per calcolare il kernel devi fare il sistema e trovare tutte le soluzioni...
Per calcolare il kernel devi fare il sistema e trovare tutte le soluzioni...
b) la domanda è se $w $ appartiene a $Imf $ non a $ ker f $...
Poichè l'applicazione è suriettiva qualunque vettore di $RR^3 $ apparterrà a $Im f $.
Poichè l'applicazione è suriettiva qualunque vettore di $RR^3 $ apparterrà a $Im f $.
"Camillo":
b) la domanda è se $w $ appartiene a $Imf $ non a $ ker f $...
Poichè l'applicazione è suriettiva qualunque vettore di $RR^3 $ apparterrà a $Im f $.
Hai ragione... sono fuso...
"vict85":
Hai ragione... sono fuso...
Il caldo, l'ora tarda...
Per trovare $ker f $ bisogna risolvere il sistema omogeneo in modo completo e non fermarsi alla soluzione nulla che non interessa:
$x+2z-t =0 $
$ 2x+z-t =0 $
$ x-z+2t=0 $
Dalla prima equazione ricavi $ t= x+2z $ e sostituendo nelle altre e dopo qualche calcolino arrivi alla soluzione che è
$x=z=t=0 $ mentre $ y $ qualunque.
Quindi $ ker f =( 0,y,0,0)$. sottospazio di dimensione 1 come già previsto.
La applicazione lineare $ f $ è quindi suriettiva ma non iniettiva .
grazie mille
"Camillo":
b) la domanda è se $w $ appartiene a $Imf $ non a $ ker f $...
Poichè l'applicazione è suriettiva qualunque vettore di $RR^3 $ apparterrà a $Im f $.
ma nel caso in cui non fosse suriettiva?
"Mat89":
[quote="Camillo"]b) la domanda è se $w $ appartiene a $Imf $ non a $ ker f $...
Poichè l'applicazione è suriettiva qualunque vettore di $RR^3 $ apparterrà a $Im f $.
ma nel caso in cui non fosse suriettiva?[/quote]
Poni $Ax = B$ dove B è il vettore colonna del vettore e A è la matrice associata all'applicazione lineare che vuoi testare e vedi se il sistema ha soluzioni.
le soluzioni devono essere uguali al vettore che ho confrontato? o sono indipendenti...
Le soluzioni saranno quelle che saranno, bisogna calcolarle risolvendo il sistema $ Ax =B $ .
Se consideriamo il caso specifico in cui il vettore sia $ w $ va risolto questo sistema :
$ x+2z-t =2 $
$ 2x+z-t =0 $
$ x-z+2t = 2 $
che già sappiamo avere soluzione, anzi sappiamao avere $oo ^1 $ soluzioni in quanto la'pplicazione $f $ è suriettiva ma non iniettiva.
Si ottiene facilmente che la soluzione è $ x=0,z=2, t=2 $ e naturalmente $ y $ qualunque .
Il vettore soluzioni è quindi $(0,y,2,2)$.
Se consideriamo il caso specifico in cui il vettore sia $ w $ va risolto questo sistema :
$ x+2z-t =2 $
$ 2x+z-t =0 $
$ x-z+2t = 2 $
che già sappiamo avere soluzione, anzi sappiamao avere $oo ^1 $ soluzioni in quanto la'pplicazione $f $ è suriettiva ma non iniettiva.
Si ottiene facilmente che la soluzione è $ x=0,z=2, t=2 $ e naturalmente $ y $ qualunque .
Il vettore soluzioni è quindi $(0,y,2,2)$.
"Camillo":
Le soluzioni saranno quelle che saranno, bisogna calcolarle risolvendo il sistema $ Ax =B $ .
Se consideriamo il caso specifico in cui il vettore sia $ w $ va risolto questo sistema :
$ x+2z-t =2 $
$ 2x+z-t =0 $
$ x-z+2t = 2 $
che già sappiamo avere soluzione, anzi sappiamao avere $oo ^1 $ soluzioni in quanto la'pplicazione $f $ è suriettiva ma non iniettiva.
Si ottiene facilmente che la soluzione è $ x=0,z=2, t=2 $ e naturalmente $ y $ qualunque .
Il vettore soluzioni è quindi $(0,y,2,2)$.
Oppure è possibile sfruttare il teorema di struttura per i sistemi lineari:
una soluzione particolare del sistema lineare è data dal vettore $((0),(0),(2),(2))$ ,
mentre il ker della matrice dei coefficienti è generato dal $((0),(1),(0),(0))$ (calcolato in precedenza);
la soluzione del sistema è
$((x),(y),(z),(t)) = ((0),(0),(2),(2)) + \lambda ((0),(1),(0),(0))$ .
"Camillo":
b) la domanda è se $w $ appartiene a $Imf $ non a $ ker f $...
Poichè l'applicazione è suriettiva qualunque vettore di $RR^3 $ apparterrà a $Im f $.
Come faccio a verificare che la funzione è suriettiva?
Grazie.
La funzione $f $ è suriettiva in quanto la matrice della trasformazione data da :
$((1,0,2,-1),(2,0,1,-1),(1,0,-1,2))$
ha rango 3 , cioè $dim Im f = 3 $ .
Lo spazio di "arrivo " della trasformazione è $RR^3$ e la trasformazione genera tutti i vettori di $RR^3$ e quindi "ricopre" tutto lo spazio $RR^3$.
$((1,0,2,-1),(2,0,1,-1),(1,0,-1,2))$
ha rango 3 , cioè $dim Im f = 3 $ .
Lo spazio di "arrivo " della trasformazione è $RR^3$ e la trasformazione genera tutti i vettori di $RR^3$ e quindi "ricopre" tutto lo spazio $RR^3$.
Chiarissimo, grazie.
Si consideri l'omomorfismo:
f: (x,y,z) $ in $ $ RR ^3 $ $ rarr $ (-2x+y-z,-x-z,y+z,-x,y) $ in $ $ RR ^4 $ (V')
Si esibisca un vettore che non sta in Imf. Non riesco a fare questo punto dell'esercizio.
Non riesco a capire se questa app. lin. è suriettiva o meno. Imf = V' ?
Grazie.
f: (x,y,z) $ in $ $ RR ^3 $ $ rarr $ (-2x+y-z,-x-z,y+z,-x,y) $ in $ $ RR ^4 $ (V')
Si esibisca un vettore che non sta in Imf. Non riesco a fare questo punto dell'esercizio.
Non riesco a capire se questa app. lin. è suriettiva o meno. Imf = V' ?
Grazie.
Quando la dimensione dello spazio di partenza è minore della dimensione
dello spazio di arrivo, l'applicazione lineare non può essere suriettiva.
dello spazio di arrivo, l'applicazione lineare non può essere suriettiva.
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