App. lineare (endomorfismo) definita da polinomi

[mazzy89-votailprof]

ho dei quesiti sul seguente esercizio:

Nello spazio vettoriale $RR_2[x]$ sono assegnati i vettori $v_1=x^2+1$, $v_2=x^2+x$, $v_3=x$ e l'endomorfismo $f: RR_2[x] to RR_2[x]$ definito dalle seguenti relazioni:

$f(v_1)=1-x$, $f(v_2)=x^2-1$, $f(v_3)=x-1$

Studiare $f$, determinando $Im f$ e $Ker f$

Questa è la consegna dell'esercizio. Per studiare la $f$, occorre trovare la matrice associata, composta dai coefficienti delle immagini delle basi dello spazio vettoriale. Adesso mi chiedo: i vettori $v_1$, $v_2$ e $v_3$ formano una base dello spazio vettoriale?

[mistake89]

Beh, verificalo. Ma credo proprio di sì, altrimenti quell'endomorfismo non sarebbe univocamente determinato.

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":Beh, verificalo. Ma credo proprio di sì, altrimenti quell'endomorfismo non sarebbe univocamente determinato.

per verificarlo secondo la def. devo provare che per essere una base dell'endomorfismo dato i vettori devono essere linearment. indipendenti e quindi la matrice dei coefficienti dei vettori deve avere rango MAX. se così deve essere la matrice $ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ il rango delle matrice deve essere $3$. Esatto il mio ragionamento?

[mistake89]

Mi spieghi cos'è la base di un endomorfismo?
Per verificare la lineare indipendenza secondo la definizione basta prendere una combinazione lineare nulla e far vedere che i coefficienti sono nulli.
Oppure, in maniera forse più sofisticata, potresti considerare un isomorfismo $phi$ da $RR_2[x]$ in $RR^3$ in cui associ $phi(ax^2+bx+c)=(a,b,c)$. Mettere in colonna i vettori ottenuti e verificare che essi siano o no linearmente indipendenti in $RR_3$ e quindi, i rispettivi polinomi in $RR_2[x]$.

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":Mi spieghi cos'è la base di un endomorfismo?
.

Credo di essermi espresso male. Terminologia inappropriata.

Per verificare la lineare indipendenza secondo la definizione basta prendere una combinazione lineare nulla e far vedere che i coefficienti sono nulli.

Questo non l'avevo mai applicato prima. L'ho sempre fatto e visto fare tramite rango della matrice. potresti illustrarmi cosi si intende?

[mistake89]

Scusami qual è la definizione di lineare indipendenza che conosci?

Comunque molto semplicemente $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti se e solo se $a_1v_1+...a_nv_n=0->a_i=0$. Questo $AAiin{1,...,n}$
Quindi presa una combinazione lineare nulla degli $n$ vettori, tutti i coefficienti sono nulli.

Applicando quindi questa definizione, considera una combinazione lineare nulla dei tuoi polinomi candidati ad essere base, e fa vedere che sono i coefficienti ad essere nulli.

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":Scusami qual è la definizione di lineare indipendenza che conosci?
.

la definizione di indipendenza lineare che conosco è propio quella da te enunciata. allora diciamo che non l'ho mai applicata alla lettera. sono un disastro.

[mistake89]

Nessun disastro. Hai applicato metodi equivalenti, se applicati correttamente, non rivelano nessuna lacuna. L'importante è conoscerli e saprne applicare il più possibile per poter operare in base al contesto. E' la bellezza della matematica a mio giudizio, guardare la stessa cosa da vari punti di vista.