App bilineari semidefinite positive

[angus89]

Sia $v$ uno spazio vettoriale reale di dimensione $n>=2$ e sia $B:VxV->R$ una forma bilineare simmetrica su $V$.
Supponiamo che $\exists \bar{v} \in V$ tale che $B(v,v)>0$

Si consideri allora il seguente insieme
$I={v \in V | B(v,v)=0}$


Dimostrare che $I$ è un sottospazio di $V$ se e solo se $B$ è semidfinita positiva.



Bè come cosa mi riesce diffcile...
Ne ho provate un bel pò di cose ma evito di scriverle dato che probabilmente non sono utili e confondono soltanto

[angus89]

Bè io ci provo, ma sia chiaro che non mi ritengo per nulla soddisfatto dalla seguente dimostrazione, seppur sia giusta (credo/spero)

Per hp sappiamo che $\exists \bar{v} \in V\{0}$ possiamo quindi normalizzare il vettore (che chiameremp $\bar{v}$) e completare a base ortonormale...

Supponiamo dunque che esista almeno un vettore della base ortonormale tale che $B(w,w)=-1$
dunque ordiniamo come segue la nostra base

$B_V=(\bar{v'},w,v_1,...,v_n)$

Consideriamo dunque
$u=\bar{v'}-w$
$s=- \bar{v'}-w$

abbiamo $u \in I$ e $s \in I$ ma $u+s \notin I$

Se volete l'argomentazione più esplicita è sufficiente provare a scrivere la matrice associata al prodotto scalare appena costruito e i vettori in coordinare rispetto alla base.

Ad ogni modo da sylvester ricaviamo che l'indice di negatività è $0$ dunque l'applicazione bilineare è semidefinita positiva.

Sottolineo ancora una volta che la dimostrazione continua a non piacermi.