Aperto connesso di $RR^n$ è connesso per archi

[Angus1956]

Sia $X$ un aperto di $RR^n$. Si provi che se $X$ è connesso allora $X$ è connesso per archi.

Siccome $X$ è aperto, preso $x inX$ $EEepsilon>0$ tale che $B_epsilon(x)subeX$ per cui $B_epsilon(x)$ è un intorno (aperto) connesso per archi di $x$ in $X$, quindi $X$ è localmente connesso per archi per cui le componenti connesse per archi di $X$ coincidono con le componenti connesse di $X$. Ma dato che $X$ è connesso l'unica componente connessa di $X$ è $X$ per cui l'unica componente connessa per archi di $X$ è $X$ e quindi $X$ è connesso per archi.