Aperto
Essendo il concetto sul quale si fonda la topologia, vorrei sapere con precisione la definizione generale di "aperto". In $RR$, in $RR^2$ e in $RR^3$ viene comunemente data una definizione di aperto nei corsi universitari di analisi, ma partendo dalla definizione di metrica ho letto che è possibile generalizzare. A questo punto, se possibile, vorrei sapere anche la definizione generalizzata di punto interno, punto esterno e intorno.
Grazie anticipate
Grazie anticipate
Risposte
Se $X$ è uno spazio metrico con metrica $d$, un sottoinsieme $A$ di $X$ si dice aperto se per ogni suo punto $x$ esiste una palla di centro $x$ e raggio $r$ contenuta in $A$.
L'insieme degli aperti di uno spazio metrico costituisce la topologia indotta dalla metrica. E' chiaro che se io invece parto con il dare la topologia direttamente, ovvero dicendo cosa sono gli aperti, non ha più senso chiedersi la definizione di aperto.
Sia quindi dato uno spazio topologico, ovvero un insieme nel quale è data una topologia, sappiamo quindi quali sono gli aperti, per definizione. Dato un sottoinsieme $A$ dello spazio, si dice che $A$ è un intorno di $x$ se esiste un aperto contenuto in $A$ e contenente $x$. In tal caso si dice anche che $x$ è interno ad $A$.
La nozione poi di punto "esterno" non credo sia usata.
L'insieme degli aperti di uno spazio metrico costituisce la topologia indotta dalla metrica. E' chiaro che se io invece parto con il dare la topologia direttamente, ovvero dicendo cosa sono gli aperti, non ha più senso chiedersi la definizione di aperto.
Sia quindi dato uno spazio topologico, ovvero un insieme nel quale è data una topologia, sappiamo quindi quali sono gli aperti, per definizione. Dato un sottoinsieme $A$ dello spazio, si dice che $A$ è un intorno di $x$ se esiste un aperto contenuto in $A$ e contenente $x$. In tal caso si dice anche che $x$ è interno ad $A$.
La nozione poi di punto "esterno" non credo sia usata.
forse Kroldar vuole anche una definizione di topologia e come si arriva
formalmente alla definizione di topologia indotta da una metrica.
Sia $X$ un insieme non vuoto e $\tau$ una famiglia di parti di $X$
si dice che $\tau$ costituisce una topologia su $X$ se verifica le seguenti
tre proprietà.
1) $\emptyset$,$X\in\tau$
2) se ${A_i}_{i\inI}$ è una qualunque famiglia di elementi di $\tau$ allora
anche la loro unione $\cup_{i\inI}$ appartiene a $\tau$
3) se $A,B\in\tau$ allora anche $A\capB\in\tau$
La coppia $(X,\tau)$ è detta spazio topologico e gli elementi di $\tau$ sono
detti aperti e i loro complementari chiusi. (ne segue che $\emptyset,X$ sono sia
aperti che chiusi. Se essi sono gli unici a verificare tale proprietà, lo spazio è detto
connesso (ad es. $R^n$))
è interessante il concetto di base di una topologia.
Sia dato $(X,\tau)$ uno spazio topologico e $B$ una famiglia di aperti di $X$ (ovvero
una sottofamiglia di $\tau$). Si dice che $B$ è una base per la topologia $\tau$ se
ogni aperto di $X$ è unione di elementi di $B$.
Vediamo il problema inverso: data una famiglia $B$ di parti di un insieme $X$, ci si chiede
quando essa sia base di una qualche topologia su $X$. La risposta è data dal seguente:
teorema:
Una famiglia $B$ di parti di un insieme non vuoto $X$ è base di una topologia su $X$
se e soltanto se restano verificate le due seguenti proprietà:
1) $B$ ricopre $X$ (nel senso che l'unione di tutti gli elementi di $B$ dà $X$)
2) se $A_1,A_2\inB$ allora la loro intersezione è unione di elementi di $B$.
Vediamo ora il legame con gli spazi metrici.
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Ovvero un insieme non vuoto $X$ dotato di una mappa
$d:X\timesX->R$ che verifica le seguenti proprietà:
1) $d(x,y)\geq0$ e $d(x,y)=0$ sse $x=y$.
2) $d(x,y)=d(y,x)$
3) $d(x,y)\leqd(x,z)+d(y,z)$ (se voglio passare per un altro punto devo per forza allungare!)
Bene, sia dunque $(X,d)$ metrico e $x\inX$ definiamo la palla di centro $x$ e raggio un
reale positivo $r$ l'insieme $B_r(x)={y\inX$ tali che $d(x,y)
teorema:
Sia $B$ la famiglia di tutte le palle di uno spazio metrico $(X,d)$, allora
$B$ costituisce una base di una topologia su $X$, detta indotta dalla metrica.
dimostrazione
esercizio (fallo!)
In definitiva, gli aperti di uno spazio metrico sono tutti i sottoinsiemi che si possono scrivere
come unione di palle (o, che è lo stesso, se ogni suo punto è abbracciato da una palla tutta
contenuta in tale sottoinsieme)
sperando che la mia spiegazione ti sia di un qualche interesse,
ti saluto.
formalmente alla definizione di topologia indotta da una metrica.
Sia $X$ un insieme non vuoto e $\tau$ una famiglia di parti di $X$
si dice che $\tau$ costituisce una topologia su $X$ se verifica le seguenti
tre proprietà.
1) $\emptyset$,$X\in\tau$
2) se ${A_i}_{i\inI}$ è una qualunque famiglia di elementi di $\tau$ allora
anche la loro unione $\cup_{i\inI}$ appartiene a $\tau$
3) se $A,B\in\tau$ allora anche $A\capB\in\tau$
La coppia $(X,\tau)$ è detta spazio topologico e gli elementi di $\tau$ sono
detti aperti e i loro complementari chiusi. (ne segue che $\emptyset,X$ sono sia
aperti che chiusi. Se essi sono gli unici a verificare tale proprietà, lo spazio è detto
connesso (ad es. $R^n$))
è interessante il concetto di base di una topologia.
Sia dato $(X,\tau)$ uno spazio topologico e $B$ una famiglia di aperti di $X$ (ovvero
una sottofamiglia di $\tau$). Si dice che $B$ è una base per la topologia $\tau$ se
ogni aperto di $X$ è unione di elementi di $B$.
Vediamo il problema inverso: data una famiglia $B$ di parti di un insieme $X$, ci si chiede
quando essa sia base di una qualche topologia su $X$. La risposta è data dal seguente:
teorema:
Una famiglia $B$ di parti di un insieme non vuoto $X$ è base di una topologia su $X$
se e soltanto se restano verificate le due seguenti proprietà:
1) $B$ ricopre $X$ (nel senso che l'unione di tutti gli elementi di $B$ dà $X$)
2) se $A_1,A_2\inB$ allora la loro intersezione è unione di elementi di $B$.
Vediamo ora il legame con gli spazi metrici.
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Ovvero un insieme non vuoto $X$ dotato di una mappa
$d:X\timesX->R$ che verifica le seguenti proprietà:
1) $d(x,y)\geq0$ e $d(x,y)=0$ sse $x=y$.
2) $d(x,y)=d(y,x)$
3) $d(x,y)\leqd(x,z)+d(y,z)$ (se voglio passare per un altro punto devo per forza allungare!)
Bene, sia dunque $(X,d)$ metrico e $x\inX$ definiamo la palla di centro $x$ e raggio un
reale positivo $r$ l'insieme $B_r(x)={y\inX$ tali che $d(x,y)
teorema:
Sia $B$ la famiglia di tutte le palle di uno spazio metrico $(X,d)$, allora
$B$ costituisce una base di una topologia su $X$, detta indotta dalla metrica.
dimostrazione
esercizio (fallo!)
In definitiva, gli aperti di uno spazio metrico sono tutti i sottoinsiemi che si possono scrivere
come unione di palle (o, che è lo stesso, se ogni suo punto è abbracciato da una palla tutta
contenuta in tale sottoinsieme)
sperando che la mia spiegazione ti sia di un qualche interesse,
ti saluto.
uber ti ringrazio, così come ringrazio luca, a prescindere per l'interesse. in ogni caso la tua spiegazione mi è risultata molto gradita e sicuramente utile per capire meglio alcuni concetti. ad esempio quella che tu chiami palla (è la prima volta che sento parlare di "palla" in matematica) mi era stato presentato come concetto di intorno. "aperto", "chiuso", "intorno", "distanza" li avevo trattati negli esami di Analisi I e Analisi II (da quanto ho capito da post precedenti i miei esami di Analisi non sono esattamente corposi come quelli che hai deto tu) relativamente agli spazi $RR$, $RR^2$ e $RR^3$. poi all'esame di Metodi Matematici, quando abbiamo fatto degli accenni a "metrica", "norma", "prodotto scalare", "spazi di Lebesgue, Banach e Hilbert" ho iniziato a capire che quei concetti che credevo di possedere non erano altro che casi molto particolari di nozioni ben più estese. così da alcuni appunti trovati su internet sto iniziando a leggere qualcosa (altri esami universitari permettendo) riguardo alla topologia generale. dunque il tuo intervento, uber, mi ha sicuramente iniziato a schiarire le idee.
per quanto riguarda la dimostrazione del fatto che la famiglia $B$ di tutte le palle di uno spazio metrico $(X,d)$ costituisce una base di una topologia su $X$ credo si debbano utilizzare le proprietà 1 e 2 che stanno qualche rigo sopra (condizioni necessarie e sufficienti), ma non ho idea di come... ad esempio come dimostro che $B$ ricopre $X$? non sapendo come è definito $X$ sinceramente non so da dove iniziare... potresti aiutarmi mettendomi magari sulla buona strada?
per quanto riguarda la dimostrazione del fatto che la famiglia $B$ di tutte le palle di uno spazio metrico $(X,d)$ costituisce una base di una topologia su $X$ credo si debbano utilizzare le proprietà 1 e 2 che stanno qualche rigo sopra (condizioni necessarie e sufficienti), ma non ho idea di come... ad esempio come dimostro che $B$ ricopre $X$? non sapendo come è definito $X$ sinceramente non so da dove iniziare... potresti aiutarmi mettendomi magari sulla buona strada?
"ubermensch":
dimostrazione
esercizio (fallo!)
Peggio che sugli appunti scritti da un docente peri suoi alunni!!
beh... ti basta fissare un reale $r$ e considerare $\cup_{x\inX}B_r(x)$.
sicuramente ottieni tutto $X$ perchè....
"ubermensch":
:-D
beh... ti basta fissare un reale $r$ e considerare $\cup_{x\inX}B_r(x)$.
sicuramente ottieni tutto $X$ perchè....
il problema che mi ponevo era la cardinalità, ovvero un insieme infinito non ha in genere la potenza di $NN$ però l'unione va fatta tra una quantità numerabile di elementi... mi viene però da dire che ogni elemento di $B$ ovvero ogni palla ha la stessa potenza di $X$... c'è qualche risultato che dice che se due insiemi (uno incluso nell'altro) hanno la stessa potenza l'uno è dato dall'unione di una quantità al più infinita numerabile di insiemi con misura pari alla misura dell'altro per caso (esempio se prendo un intervallo di $RR$ di misura piccolissima, sicuramente unendo una quantità numerabile di intervalli di pari ampiezza otterrò $RR$, unendo cerchi di raggio infinitesimo ottengo $RR^2$, con delle sfere ottengo $RR^3$ e così via)? anche se il concetto di "misura" non è stato ancora introdotto... intuitivamente l'ho capito ma non riesco a renderlo rigoroso...
scusa Kroldar, ma chi te l'ha detto che l'unione va fatta su un sistema
numerabile di punti?
numerabile di punti?
"ubermensch":
scusa Kroldar, ma chi te l'ha detto che l'unione va fatta su un sistema
numerabile di punti?
...
deduco che l'unione può essere fatta su un sistema di cardinalità qualsiasi (pensavo che fosse fatta su $NN$ perché per unire degli elementi devo poterli prendere uno a uno dunque contarli... evidentemente mi sbagliavo)
1) fissiamo un $r$ arbitrario, per ogni elemento $x$ di $X$ consideriamo una palla di centro $x$ e raggio $r$... siccome $X$ è dato dall'unione di tutti gli elementi $x$ otteniamo che l'unione di tutte le palle ricopre $X$ poiché ogni palla di centro $x$ contiene sicuramente l'elemento $x$
ora dovrebbe andare se non erro...
per il punto 2) lo stesso ho qualche difficoltà perché date due palle sicuramente la loro intersezione è contenuta in un'altra palla (banale, ognuna delle due palle contiene l'intersezione e se l'intersezione fosse vuota c'è sempre l'insieme vuoto), però come dimostro che l'intersezione di due palle è data esattamente dall'unione di altre palle senza eccedere?
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