Aperti tra $RR$-spazi vettoriali
Siano $n,p inNN$ con $n!=p$. Perchè vale che $AAx inRR^p$ non esiste un aperto di $RR^p$ che contiene $x$ che sia omeomorfo a un aperto di $RR^n$?
L'idea mia era che se esistesse $A$ aperto di $RR^p$ omeomorfo a $B$ aperto di $RR^n$, supposto $n>p$ (analogo $p>n$) se io considero $WsubRR^n$ un sottospazio affine di dimensione $p-1$ allora $B\\W$ è connesso per archi, mentre $A\\W$ non è connesso per archi, ma avendo supposto che esistesse un omeomorfismo tra $A$ e $B$ allora questo indurebbe un omeomorfismo tra $A\\W$ e $B\\W$, assurdo.
L'idea mia era che se esistesse $A$ aperto di $RR^p$ omeomorfo a $B$ aperto di $RR^n$, supposto $n>p$ (analogo $p>n$) se io considero $WsubRR^n$ un sottospazio affine di dimensione $p-1$ allora $B\\W$ è connesso per archi, mentre $A\\W$ non è connesso per archi, ma avendo supposto che esistesse un omeomorfismo tra $A$ e $B$ allora questo indurebbe un omeomorfismo tra $A\\W$ e $B\\W$, assurdo.
Risposte
È una cosa da ricondurre al fatto che $RR^n$ e $RR^p$ non sono omeomorfi, la sai questa cosa?
"otta96":
È una cosa da ricondurre al fatto che $RR^n$ e $RR^p$ non sono omeomorfi, la sai questa cosa?
Io pensavo di dimostrare appunto che $RR^n$ e $RR^p$ non sono omeomorfi per questa cosa, ovvero che hanno aperti non omeomorfi. Comunque si potrebbe sempre usare l'idea degli spazi affini, supponendo per assurdo che un omeomorfismo esista e facendo vedere che restringendosi in entrambi i casi al complementare di un sottospazio affine di dimensione $min{p,n}-1$ (per cui l'omeomorfismo rimane invariato) si ha la connessione per archi in uno ma non nell'altro e ciò porta all'assurdo.
Per esempio se prendiamo $RR$ e $RR^2$ e supponessi per assurdo che esistesse un omeomorfismo $f$ togliendo un punto $xinRR$ (spazio affine di dimensione $0$) a $RR$ e il corrispettivo $f(x)$ in $RR^2$ avrei che $RR\\{x}$ non è connesso per archi e $RR^2\\{f(x)}$ è connesso per archi ma per l'ipotesi di assurdo $f$ induce un omeomorfismo tra $RR\\{x}$ e $RR^2\\{f(x)}$