Aperti saturi in relazioni di equivalenza

[Boxyes]

Salve a tutti ecco questo esercizio:
Sia $X$ spazio topologio e $D in X$ consideriamo la seguente relazione di equivalenza $r$
$x r y hArr x=y$ o $ x,y in D$
Dimostrare che i seguenti fatti sono equivalenti
i) $X/r$ ha la topologia discreta
ii) $AA A$ aperto in $X$ tale che $A != \phi, A != X$ si ha $A nn D != \phi$ e $(X-A) nn D != \phi$

i) implica ii)
Se $X/r$ ha la topologia banale i suoi aperti saranno solo $X/r, \phi$
ogni singolo elemento di $X/r$ è fatto così
$[x]= \{(x if x notin D),(D if x in D):}$
ma allora se $x r y$ e $x in D$ implica $y in D$
Cioè $D$ è aperto saturo
Poichè tramite $\pi: X to X/r$ gli aperti saturi di $X$ sono in corrispondenza biunivoca con quelli di $X/r$
$\pi(D)=X/R$
ma $\pi^-1 (X/r)=X$
dunque $D=X$
Il che a suo modo prova la tesi.

ii) implica i)
Avevo pensato di supporre per assurdo che $EE B in X/r$ tale che $B$ è aperto di $X/r$ diverso dai due banali ($\phi X/r$)
Dunque $\pi^-1 (B)=A$ con $A$ aperto saturo in $X$.
Per l'Hp si vede quindi che tutti gli aperti sono saturi e che sono tutti della forma
$D uu { \bar x} uu {x| EE x notin D}$ con $\bar x$ un elemento fissato di $X-D$
E qui non so più cosa fare

[elvis3]

Solo per fare chiarezza, il punto i) dovrebbe recitare "\(X/_r\) ha la topologia banale" (la topologia banale e la topologia discreta sono due cose diverse).

Poi, la tua dimostrazione di i) --> ii) mi sembra sbagliata:

"Boxyes":[...] Cioè $D$ è aperto saturo

Non vedo perché \(D\) debba essere aperto (che sia saturo è ovvio).

Ti consiglio di rivedere tutto. Il suggerimento che ti do è il seguente.
Sia \(A\) un aperto non banale di \(X\). Se \(A\) è saturo, allora \(\pi(A)\) è un aperto non banale di \(X/_r\).
Morale: se \(X/_r\) ha la topologia banale, allora ogni aperto non banale di \(X\) non è saturo...