Aperti omeomorfi ad $RR^n$

[angus89]

Non conosco la risposta di questa domanda e non è un esercizio è solo una cosa che mi son chiesto

Se $U \sub RR^n$ è un aperto semplicemente connesso allora è omeomorfo ad $RR^n$?

[maurer]

Secondo me è falso. Prendi [tex]\mathbb R^3 \setminus \{(0,0,0)\}[/tex]. E' semplicemente connesso, ma direi che non è omeomorfo a [tex]\mathbb R^3[/tex].

Piuttosto mi sentirei di dire: se [tex]U \subset \mathbb R^n[/tex] è tale che [tex]\pi_1(U), \pi_2(U), \ldots, \pi_n(U)[/tex] sono gruppi banali, allora è omeomorfo a [tex]\mathbb R^n[/tex]. Tuttavia io conosco solo [tex]\pi_1(U)[/tex] e quindi non ti so dare una risposta.

P.S. [tex]\mathbb R^3 \setminus \{(0,0,0)\}[/tex] non è omeomorfo a [tex]\mathbb R^3[/tex] perché, credo, [tex]\pi_2(\mathbb R^3) \ne \pi_2(\mathbb R^3 \setminus\{(0,0,0)\})[/tex]. Ma, non essendo esperto, è meglio aspettare il parere di qualcuno che lo sia.

[angus89]

Il tuo controesempio funziona bene anche senza introdurre $pi_2$ infatti $RR^3 \\ {(0,0,0)}$ è omotopicamente equivalente a $S^2$ e questo è semplicemente connesso ma gli spazi non sono omeomorfi, ad esempio $S^2$ è compatto mentre $RR^3\\{(0,0,0)}$ no.

Ad ogni modo spero che qualcuno che conosce la teoria sui $pi_n$ risponda, anche io credo sia vero quello che dici

[maurer]

Hai ragione. Non ci avevo proprio pensato...

[dissonance]

Mi pare di avere letto da qualche parte che un aperto semplicemente connesso di $RR^2$ è sempre omeomorfo al disco unitario, e quindi a tutto $RR^2$. Anzi mi sa che usando tecniche di analisi complessa si può costruire molto più che un omeomorfismo.

P.S.: Trovato!

https://www.matematicamente.it/forum/map ... 50181.html