Annullamento termine extradiagonale matrice 2x2

[zannas]

Ciao a tutti, oltrea fiagonalizzare la matrice vorrei risolvere analiticamente il problema:
$[N] = [(cos theta,sin theta),(-sin theta, cos theta)]$
$[sigma]=[(sigma_x,tau),(tau,sigma_y)]
facendo $[sigma^*]=[N][sigma][N^(-1)]$
se voglio annullare $sigma*_(2,1)$ riuascite a esplicitarmi $theta$?
Grazie

[Lord K]

Uhm...

Osserviamo che $N$ è una rotazione di $-theta$ radianti. Visto che $N^(-1)$ è una rotazione di $theta$ radianti, allora necesariamente $sigma^*$:

$[[sigma_11, sigma_12],[sigma_21,sigma_22]]*N = N*[[sigma_x, tau],[tau, sigma_y]]$

Faccio due conti:

$ S=[[sigma_x, tau],[tau,sigma_y]]*N^(-1) = [[sigma_x*costheta + tau*sintheta, -sigma_x*sintheta + tau*costheta], [tau*costheta+sigma_y*sintheta, -tau*sintheta+ sigma_y*costheta]]$

E poi:

$N*S = [[costheta, sintheta],[-sintheta, costheta]] * [[sigma_x*costheta + tau*sintheta, -sigma_x*sintheta + tau*costheta], [tau*costheta+sigma_y*sintheta, -tau*sintheta+ sigma_y*costheta]]$

Qui poi trovi facendo i calcoli tutti i valori che ti servono!

[zannas]

con formule di bisezione ecc si ottiene:
$theta = 1/2 arctg((2 tau)/(sigma_x-sigma_y))$