Angolo diedro

[Silvietto666]

Supponiamo di avere tre vettori nello spazio, \(\displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \), applicati allo stesso punto. E' possibile determinare l'angolo diedro tra i due piani generati da \(\displaystyle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) \) e \(\displaystyle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}) \) in termini dei prodotti scalari tra i vettori \(\displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \), o di loro combinazioni lineari (ovvero delle lunghezze dei vettori e degli angoli che formano tra loro)? Usando prodotti vettoriali è facile (basta fare il prodotto scalare tra \(\displaystyle \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}/|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}| \) e \(\displaystyle \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}/|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}| \), ovvero tra le normali ai piani), ma vorrei sapere se esiste qualche formula che usi solo prodotti scalari. Credo sia una specie di teorema del coseno (o di Carnot) nello spazio, che consente di scrivere l'angolo tra due vettori in funzione delle lunghezze.

[Sk_Anonymous]

Se vuoi ridurre tutto a prodotti scalari potresti usare la formula:
$( vec(a) times vec(b) ) cdot (vec(c) times vec(d) )= (vec(a) cdot vec(c)) (vec(b) cdot vec(d))-(vec(a) cdot vec(d)) (vec(b) cdot vec(c)) $
dove il simbolo "$times$" è il prodotto vettore mentre il simbolo "$cdot$" rappresenta il prodotto scalare.