Ancora: tangenti a curva parametrica...
Mi è venuto un altro dubbio:
io fin'ora per trovare il luogo delle rette tangenti a una curva mettevo la curva in forma parametrica del tipo
${(x=x(t)),(y=y(t)),(z=z(t)):}$
e poi trovato il luogo di tutte le rette tangenti assume la forma
${(x=x(t)+x'(t)*u),(y=y(t)+y'(t)*u),(z=z(t)+z'(t)*u):}$
in particolare se voglio la tengente nel punto $P_0=(x(t_0), y(t_0), z(t_0))$ sostituisco $t=t_0$
Problema:
trovandomi a dover trovare le rette parellele di questa curva
${(x=t),(y^2=t^4-t^5):}$
io mi riconducevo a questo caso
${(x=t),(y=+- sqrt(t^4-t^5)):}$
per averlo nella forma canonica vista sopra.
Mi è venuto il dubbio se fosse il procedimento corretto, per cui provando con la parabola
${(y=t),(x^2=t):} => {(y=1+u),(x=+-(1/2sqrt(t))+-(1/2sqrt(t))):}$ con sommo disappunto perchè sostituendo non ottendo la retta del tipo $2x$
invece facendo ${(y=t),(x^2=t):} => {(y=1),(2x=1):} => {(y=1+u),(x=(1/2) +(1/2)*u):}$ da cui togliendo il parametro ottengo $y=2x$
cose diverse... dove sbaglio?
io fin'ora per trovare il luogo delle rette tangenti a una curva mettevo la curva in forma parametrica del tipo
${(x=x(t)),(y=y(t)),(z=z(t)):}$
e poi trovato il luogo di tutte le rette tangenti assume la forma
${(x=x(t)+x'(t)*u),(y=y(t)+y'(t)*u),(z=z(t)+z'(t)*u):}$
in particolare se voglio la tengente nel punto $P_0=(x(t_0), y(t_0), z(t_0))$ sostituisco $t=t_0$
Problema:
trovandomi a dover trovare le rette parellele di questa curva
${(x=t),(y^2=t^4-t^5):}$
io mi riconducevo a questo caso
${(x=t),(y=+- sqrt(t^4-t^5)):}$
per averlo nella forma canonica vista sopra.
Mi è venuto il dubbio se fosse il procedimento corretto, per cui provando con la parabola
${(y=t),(x^2=t):} => {(y=1+u),(x=+-(1/2sqrt(t))+-(1/2sqrt(t))):}$ con sommo disappunto perchè sostituendo non ottendo la retta del tipo $2x$
invece facendo ${(y=t),(x^2=t):} => {(y=1),(2x=1):} => {(y=1+u),(x=(1/2) +(1/2)*u):}$ da cui togliendo il parametro ottengo $y=2x$
cose diverse... dove sbaglio?
Risposte
Ecco qual è, secondo me, il problema.
Innanzitutto la mia definizione di curva. Una curva è un'applicazione continua $\gamma:I\to RR^n$, dove $I$ è un intervallo.
Il problema è che il procedimento generale che hai illustrato inizialmente vale solo per curve differenziabili.
Come hai giustamente osservato per l'altra curva, non si può trovare $\dot{x}(t)$ o $\dot{y}(t)$ per qualche $t$. E quindi tutto il metodo va a farsi benedire.
Tu invece lo stai utilizzando con curve che sono differenziabili solo a tratti. Per cui il metodo va bene per tutti i punti "interni", restringendosi ad opportuni intorni dove la curva lo è. Per gli altri punti si devono usare altri metodi, per esempio con metodi derivanti dallo studio delle curve algebriche.
Esempio 1. La parabola.
Intuitivamente uno pensa: vabbè la parabola è più che regolare! Potrò applicarlo 'sto metodo. Certo, ma dipende da come la parametrizzi!
La tua parametrizzazione è
${(y=t), (x^2=t):}$
corrisponde a considerare la curva $gamma:RR\to RR^2$ definita come $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ dove
$x(t)={(\sqrt(t)" se "t\ge 0),(sqrt(-t)" se "t<0):}$ e $y(t)=t$
Quindi il tuo ragionamento per il calcolo della retta tangente vale per tutti i punti $gamma(t)$ tranne che per $t=0$.
[Comunque, secondo me, prima hai sbagliato i conti per il calcolo della retta tangente alla parabola. Controllali meglio. Eventualmente chiedimeli e li facciamo insieme.]
Se provi con questa parametrizzazione (regolare), secondo me, dovrebbe venire tutto liscio ${(x(t)=t), (y(t)=t^2):}$
Esempio 2. Quell'altra curva.
Anche qui la parametrizzazione che hai considerato corrisponde a studiare due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ definite come segue
$\gamma_1, \gamma_2:]-\infty,1]\to RR^2$ tale che
$gamma_1(t)=(x(t), y(t))$ con ${(x(t)=t),(y(t)=\sqrt(t^4-t^5)):}$
$gamma_2(t)=(x(t), y(t))$ con ${(x(t)=t),(y(t)=-\sqrt(t^4-t^5)):}$
E come è facile verificare, tutto funziona in tutti i punti $gamma_i(t)$ con $t<1$.
Non so, spero di essere stato d'aiuto.
Innanzitutto la mia definizione di curva. Una curva è un'applicazione continua $\gamma:I\to RR^n$, dove $I$ è un intervallo.
Il problema è che il procedimento generale che hai illustrato inizialmente vale solo per curve differenziabili.
Come hai giustamente osservato per l'altra curva, non si può trovare $\dot{x}(t)$ o $\dot{y}(t)$ per qualche $t$. E quindi tutto il metodo va a farsi benedire.
Tu invece lo stai utilizzando con curve che sono differenziabili solo a tratti. Per cui il metodo va bene per tutti i punti "interni", restringendosi ad opportuni intorni dove la curva lo è. Per gli altri punti si devono usare altri metodi, per esempio con metodi derivanti dallo studio delle curve algebriche.
Esempio 1. La parabola.
Intuitivamente uno pensa: vabbè la parabola è più che regolare! Potrò applicarlo 'sto metodo. Certo, ma dipende da come la parametrizzi!
La tua parametrizzazione è
${(y=t), (x^2=t):}$
corrisponde a considerare la curva $gamma:RR\to RR^2$ definita come $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ dove
$x(t)={(\sqrt(t)" se "t\ge 0),(sqrt(-t)" se "t<0):}$ e $y(t)=t$
Quindi il tuo ragionamento per il calcolo della retta tangente vale per tutti i punti $gamma(t)$ tranne che per $t=0$.
[Comunque, secondo me, prima hai sbagliato i conti per il calcolo della retta tangente alla parabola. Controllali meglio. Eventualmente chiedimeli e li facciamo insieme.]
Se provi con questa parametrizzazione (regolare), secondo me, dovrebbe venire tutto liscio ${(x(t)=t), (y(t)=t^2):}$
Esempio 2. Quell'altra curva.
Anche qui la parametrizzazione che hai considerato corrisponde a studiare due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ definite come segue
$\gamma_1, \gamma_2:]-\infty,1]\to RR^2$ tale che
$gamma_1(t)=(x(t), y(t))$ con ${(x(t)=t),(y(t)=\sqrt(t^4-t^5)):}$
$gamma_2(t)=(x(t), y(t))$ con ${(x(t)=t),(y(t)=-\sqrt(t^4-t^5)):}$
E come è facile verificare, tutto funziona in tutti i punti $gamma_i(t)$ con $t<1$.
Non so, spero di essere stato d'aiuto.
anzitutto moooltre grazie. davvero gentile ed esauriente.
per la parababola ho scritto male: ${(y=1+u),(x=+-(1/(2sqrt(t)))+-(1/(2sqrt(t)))):}$
una cosa: nell'"altra curva", chiamiamola $L$, se devo trovare nello specifico la tangente in $(1,0)$ come faccio?
per la parababola ho scritto male: ${(y=1+u),(x=+-(1/(2sqrt(t)))+-(1/(2sqrt(t)))):}$
una cosa: nell'"altra curva", chiamiamola $L$, se devo trovare nello specifico la tangente in $(1,0)$ come faccio?
Io userei le curve algebriche (che non se hai studiato). Se vuoi posso illustrarti quel metodo: non è complicato.
Una curva algebrica [tex]\mathcal{C}[/tex] (nel piano) è l'insieme dei punti che verificano un'equazione del tipo [tex]F(x,y)=0[/tex] dove [tex]F(x,y)[/tex] è un polinomio.
Indico con [tex]F_x[/tex] e [tex]F_y[/tex] rispettivamente le derivate parziali di [tex]F[/tex] rispetto a [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex].
Se [tex](x_0,y_0)\in\mathcal{C}[/tex] e se [tex](F_x(x_0,y_0),F_y(x_0,y_0))\neq(0,0)[/tex], allora si dimostra che la retta tangente a [tex]\mathcal{C}[/tex] in [tex](x_0,y_0)[/tex] ha equazione
[tex]F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0[/tex]
Per esempio la tua curva $L$ ha equazione [tex]F(x,y)=y^2-x^4+x^5=0[/tex], da cui
[tex]F_x(x,y)=-4x^3+5x^5[/tex]
[tex]F_x(1,0)=1[/tex]
[tex]F_y(x,y)=2y[/tex]
[tex]F_y(1,0)=0[/tex]
Quindi la retta tangente ha equazione
[tex]x-1=0[/tex].
Una curva algebrica [tex]\mathcal{C}[/tex] (nel piano) è l'insieme dei punti che verificano un'equazione del tipo [tex]F(x,y)=0[/tex] dove [tex]F(x,y)[/tex] è un polinomio.
Indico con [tex]F_x[/tex] e [tex]F_y[/tex] rispettivamente le derivate parziali di [tex]F[/tex] rispetto a [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex].
Se [tex](x_0,y_0)\in\mathcal{C}[/tex] e se [tex](F_x(x_0,y_0),F_y(x_0,y_0))\neq(0,0)[/tex], allora si dimostra che la retta tangente a [tex]\mathcal{C}[/tex] in [tex](x_0,y_0)[/tex] ha equazione
[tex]F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0[/tex]
Per esempio la tua curva $L$ ha equazione [tex]F(x,y)=y^2-x^4+x^5=0[/tex], da cui
[tex]F_x(x,y)=-4x^3+5x^5[/tex]
[tex]F_x(1,0)=1[/tex]
[tex]F_y(x,y)=2y[/tex]
[tex]F_y(1,0)=0[/tex]
Quindi la retta tangente ha equazione
[tex]x-1=0[/tex].
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