Ancora problemi con le matrici
Qualcuno sa aiutarmi a risolvere questo problema?
Cioè, per me quelle matrici sono al massimo la matrice diagonale, poi boh... non so da dove iniziare...
Cioè, per me quelle matrici sono al massimo la matrice diagonale, poi boh... non so da dove iniziare...
Risposte
Questo problema mi sembra molto carino. Grazie per averlo proposto 
Ho trovato una soluzione ad entrambe le richieste, anche se ammetto di aver faticato qualche minuto, soprattutto nel rispondere alla seconda richiesta.
La prima richiesta è abbastanza semplice, bisogna cercare di capire come sono fatte le matrici in ogni sottospazio.
Per esempio prova a pensare ad una possibile base per il sottospazio $U_{11}$.
Certamente le matrici $E_{ij}$, con $i,j=2,3,4$ vi appartengono e sono linearmente indipendenti, dove $E_{ij}$ è la matrice con elementi tutti nulli tranne nel posto $(i,j)$ dove è presente un $1$.
Ora dobbiamo pensare a cosa può accadere nella prima riga e nella prima colonna.
Osserva che le seguenti matrici sono tutte in $U_{11}$
$((0,1,-1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,1,0,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,1,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$,
$((0,0,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0),(-1,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,0,0))$.
Le 15 matrici che ti ho presentato costituiscono una base di $U_{11}$, è facile verificarlo.
Riesci a generalizzare il procedimento, trovando una base del generico $U_{ij}$?
Ho trovato una soluzione ad entrambe le richieste, anche se ammetto di aver faticato qualche minuto, soprattutto nel rispondere alla seconda richiesta.
La prima richiesta è abbastanza semplice, bisogna cercare di capire come sono fatte le matrici in ogni sottospazio.
Per esempio prova a pensare ad una possibile base per il sottospazio $U_{11}$.
Certamente le matrici $E_{ij}$, con $i,j=2,3,4$ vi appartengono e sono linearmente indipendenti, dove $E_{ij}$ è la matrice con elementi tutti nulli tranne nel posto $(i,j)$ dove è presente un $1$.
Ora dobbiamo pensare a cosa può accadere nella prima riga e nella prima colonna.
Osserva che le seguenti matrici sono tutte in $U_{11}$
$((0,1,-1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,1,0,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,1,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$,
$((0,0,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0),(-1,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,0,0))$.
Le 15 matrici che ti ho presentato costituiscono una base di $U_{11}$, è facile verificarlo.
Riesci a generalizzare il procedimento, trovando una base del generico $U_{ij}$?
Prendiamo la prima matrice
[tex]\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}[/tex]
non appartiene all'insieme delle matrici [tex]U_{ij}[/tex], infatti (per la prima riga, seconda colonna):
[tex]0 +1-1+0 \ne 2(1 + 0 + 0 + 0)[/tex]
Quindi non ho capito cosa vuoi dire
In effetti il problema mio è esattamente capire quali sono queste matrici benedette
[tex]\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}[/tex]
non appartiene all'insieme delle matrici [tex]U_{ij}[/tex], infatti (per la prima riga, seconda colonna):
[tex]0 +1-1+0 \ne 2(1 + 0 + 0 + 0)[/tex]
Quindi non ho capito cosa vuoi dire
In effetti il problema mio è esattamente capire quali sono queste matrici benedette
Io volevo dire che l'insieme delle sei matrici che ho descritto nel mio messaggio precedente + le nove matrici $E_{hk}$ con $h,k=2,3,4$ appartengono tutte ad $U_{11}$
(e non al generico $U_{ij}$).
Sono 15 matrici, sono linearmente indipendenti. Formano una base di $U_{11}$ (dovresti cercare di capire perché...)
La mia richiesta era: riusciresti a trovare una base di $U_{ij}$? Dovresti capire bene come quali potrebbero essere 15 matrici che formano una base di $U_{ij}$...
(e non al generico $U_{ij}$).
Sono 15 matrici, sono linearmente indipendenti. Formano una base di $U_{11}$ (dovresti cercare di capire perché...)
La mia richiesta era: riusciresti a trovare una base di $U_{ij}$? Dovresti capire bene come quali potrebbero essere 15 matrici che formano una base di $U_{ij}$...
Il fatto è che io non capisco proprio come è fatto [tex]U_{11}[/tex], non riesco a leggere quella definizione: io leggo:
[tex]U_{11} = \left \{ a_{11} \in M_{4,4}(\mathbb{R}) \mbox{ tale che } \sum_{h=1}^4 a_{1h} = 2\sum_{h=1}^4 a_{h1} \right \}[/tex]
Ovvero che il sottospazio [tex]U_{11}[/tex] ha la somma dei coefficenti sulla prima riga eguale a quella del doppio dei coefficienti sulla prima colonna. E i termini altrove non so cosa fanno (e d'altra parte ho solo un'informazione generica del comportamento dei termini su prima riga e colonna. Immagino di leggere male la definizione. Ma come sono fatti, allora, questi sottospazi?
[tex]U_{11} = \left \{ a_{11} \in M_{4,4}(\mathbb{R}) \mbox{ tale che } \sum_{h=1}^4 a_{1h} = 2\sum_{h=1}^4 a_{h1} \right \}[/tex]
Ovvero che il sottospazio [tex]U_{11}[/tex] ha la somma dei coefficenti sulla prima riga eguale a quella del doppio dei coefficienti sulla prima colonna. E i termini altrove non so cosa fanno (e d'altra parte ho solo un'informazione generica del comportamento dei termini su prima riga e colonna. Immagino di leggere male la definizione. Ma come sono fatti, allora, questi sottospazi?
Allora, ci ho lavorato un po' su.
Ho pensato che tutte le matrici possono fare come gli pare, all'infuori della riga e della colonna [tex]i,j[/tex]. Prendendo come esempio [tex]i=1 \land j=1[/tex] si ha, per esempio, questa base canonica:
[tex]\begin{vmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & & & & \\ 1 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 1 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & & & & \\ 1 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 1 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & & & & \\ 1 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 1 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & & & & \\ 1 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 1 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
E sono 16 elementi. Tuttavia la prima (quella con prima riga e colonna con tutti zeri), si può ottenere moltiplicando una delle altre per 0, per cui si esclude.
Ecco allora che:
[tex]\mbox{dim(}U_{ij}\mbox{)} = 15 \qquad \forall i,j[/tex]
YEAH!
Ho pensato che tutte le matrici possono fare come gli pare, all'infuori della riga e della colonna [tex]i,j[/tex]. Prendendo come esempio [tex]i=1 \land j=1[/tex] si ha, per esempio, questa base canonica:
[tex]\begin{vmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & & & & \\ 1 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 1 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & & & & \\ 1 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 1 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & & & & \\ 1 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 1 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & & & & \\ 1 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix},
\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 1 & & & & \end{vmatrix}[/tex]
E sono 16 elementi. Tuttavia la prima (quella con prima riga e colonna con tutti zeri), si può ottenere moltiplicando una delle altre per 0, per cui si esclude.
Ecco allora che:
[tex]\mbox{dim(}U_{ij}\mbox{)} = 15 \qquad \forall i,j[/tex]
YEAH!
Quelle 15 matrici non sono linearmente indipendenti. Per esempio
[tex]\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+[/tex]
[tex]+\begin{vmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}=\textrm{ matrice nulla}[/tex]
Quindi non costituiscono una base.
L'ho scritto prima: una base di $U_{11}$ è formata dalle seguenti 15 matrici
$((0,1,-1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,1,0,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,1,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0),(-1,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,0,0))$.
$((0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$,
$((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$,
$((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,1,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$.
[tex]\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}+[/tex]
[tex]+\begin{vmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & & & \\ 0 & & & \\ 0 & & & & \end{vmatrix}=\textrm{ matrice nulla}[/tex]
Quindi non costituiscono una base.
L'ho scritto prima: una base di $U_{11}$ è formata dalle seguenti 15 matrici
$((0,1,-1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,1,0,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,1,-1),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0),(-1,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,0,0))$.
$((0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$,
$((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$,
$((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,1,0,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0))$, $((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo