Ancora matrici nilpotenti e dimostrazioni.

[Kappagibbi]

Ciao ragazzi, ho un esercizio carino da proporvi..
Data una matrice di ordine n A tale che A sia nilpotente dimostrare per induzione su n che A è simile ad una matrice triangolare superiore.



Mh il caso n=1 è banali, il passo dell'induzione mi sta invece dando qualche problema, avete qualche idea? anche un solo suggerimento !

[Kappagibbi]

Allora ragazzi ho avuto un'idea, a dire il vero non so se funzioni o meno ma vediamo..

So che $A_(n-1)$ matrice di ordine n-1 è nilpotente e simile a una matrice trangolare strettamente superiore $A'_(n-1)$
Questo implica l'esistenza di una matrice invertibile $S_(n-1) t.c S^(-1)AS= A'$
Costruisco ora una matrice $A_(n)$ a blocchi

$A_(n)= ( ( A_(n-1) , B ),( C , D ) ) $

Dove $B in M(nx1,k)$, $C in M(1xn),k$, $D in M_1,k$


Costruisco ora la matrice $S_(n)$ a blocchi così formata:


$ S_(n)= ( ( S_(n-1) , 0),( 0 , 1 ) ) $

Con la stessa struttura della precedente matrice a blocchi.
$S_(n)$ è invertibile e impiegando la moltiplicazione per blocchi tra $(S_n)^(-1)AS$ ottengo una nuova matrice $A'_n$ triangolare strettamente superiore simile ad $A_(n-1)$


Cosa ne pensate?