Ancora chiarimenti generali

[mtx4]

propongo degli altri esercizi, possono essere banali, ma la materia non è di mio gradimento
viva Analisi 1

abbiamo $A$ matrice associata ad un endomorfismo, nota
e alcuni vettori noti anch'essi
ci chiediamo quale di questi vettori siano autovettori
come si prova ciò??
io avevo pensato di trovare intanto gli autovalori e gli autospazi, trovare una base per essi e quindi una base di autovettori, e verificare se i vettori dati risultassero multipli di qualcuno degli autovettori della base, non so se è corretto, mi sono cmq arenato nella ricerca degli autovalori per la presenza di un'equazione di quarto grado, apparentemente non risolvibile in poco tempo
spero mi possiate dare la dritta giusta

altra richiesta, molto semplice stavolta, abbiamo un sistema lineare al variare di K
ci chiediamo quando il sistema abbia dimensione 1
ho gli strumenti per farlo correttamente, non mi è chiara la richiesta, cosa deve avere dimensione 1??
la matrice ad esso associata?? completa o incompleta??

poi mi vergogno a dirlo, ma non so dimostrare come un insieme sia un sottospazio, ovvero deve essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare
ma cosa vuol dire effettivamente?? che presi due elementi dell'insieme la somma deve appartenere ancora all'insieme, ovvero deve essere della stessa forma??
esempio
$U=[f(x) di R^3x:f(0)=2]$
l'insieme è fatto da questi elementi: $2+a(1)x+a(2)x^2+a(3)x^3$
la somma di due elementi generici viene
$4 + (a1 + A1)x$ .... ecc
(a1 +A1) e così via si può pensare come unico coefficiente, quindi è della stesso tipo di a(1)
il 4 da fastidio, ovvero non è 2 ergo non è sottospazio ??

[misanino]

"mtx4":propongo degli altri esercizi, possono essere banali, ma la materia non è di mio gradimento
viva Analisi 1

altra richiesta, molto semplice stavolta, abbiamo un sistema lineare al variare di K
ci chiediamo quando il sistema abbia dimensione 1
ho gli strumenti per farlo correttamente, non mi è chiara la richiesta, cosa deve avere dimensione 1??
la matrice ad esso associata?? completa o incompleta??

Credo che per dimensione del sistema tu intenda la dimensione dello spazio delle soluzioni di quel sistema.
In questo caso allora il rango della matrice completa deve essere uguale a quello della matrice incompleta +1

[misanino]

"Sergio":[quote="misanino"]In questo caso allora il rango della matrice completa deve essere uguale a quello della matrice incompleta +1

Scusa, che vuol dire "+1"?[/quote]

Sia $R$ il rango della matrice completa.
Sia $r$ il rango della matrice incompleta.
Allora deve essere $R=r+1$

[misanino]

"Sergio":[quote="misanino"]Sia $R$ il rango della matrice completa.
Sia $r$ il rango della matrice incompleta.
Allora deve essere $R=r+1$

Ma così hai un sistema incompatibile....[/quote]

Scusami, hai ragione.
Il rango della matrice completa e incompleta devono ovviamente essere uguali per avere soluzioni.
Ora, verificato ciò,:
detto $R=$rango massimo della matrice incompleta
$r=$rango della matrice incompleta
allora deve essere $R=r+1$

[misanino]

"Sergio":
Perdonami, ma non conosco la differenza tra "rango" e "rango massimo" di una matrice...

Io ho sempre sentito parlare di rango massimo, ma può darsi che sia un termine gergale e ne esista uno più appropriato.
Comunque:
data una matrice $M$ nxm, io intendo con rango massimo il minimo tra n e m

[mtx4]

oh grazie, facciamo un breve riepilogo
l'esercizio, quindi, sullo spazio vettoriale, mostra che quello non è un sottospazio, appunto perchè 4 non è 2

definizione di autovettore: dicesi autovettore, quel vettore la cui immagine è data da uno scalare per il vettore stesso
abbiamo la matrice associata, quindi ....
risaliamo all'applicazione lineare, troviamo l'immagine dei vettori dati, e deve essere multiplo del vettore secondo un certo autovalore???

per quanto riguarda il sistema lineare, possibile che la matrice completa debba avere rango uno, forse si intende questo

[misanino]

"mtx4":

per quanto riguarda il sistema lineare, possibile che la matrice completa debba avere rango uno, forse si intende questo

La cosa si presta ad interpretazione.
Secondo me dire che il sistema ha dimensione 1 significa dire che lo spazio delle soluzioni del sistema ha dimensione 1!
Quindi detta A la matrice associata al sistema (e supposto che essa sia nxm) e detta B la matrice completa deve essere:
rango(A)=rango(B)
e
minimo(n,m)-1=rango(A)

[Steven11]

"Sergio":
PS: Se poi volessi comunque calcolare, non basta che un vettore sia multiplo di un autovettore. Se hai un autovalore di molteplicità algebrica e geometrica maggiore di 1, quel vettore potrebbe essere combinazione lineare di più autovettori.

Non sono d'accordo.
Se un vettore [tex]$w$[/tex] è multiplo di un autovettore [tex]$v_1$[/tex] (relativo ad autovalore [tex]$\lambda$[/tex]), supponiamo [tex]$w=a_1v_1$[/tex], e dalla linearità dell'applicazione segue
[tex]$T(w)=T(a_1v_1)=a_1T(v_1)=a_1\lambda v_1=\lambda\cdot a_1v_1=\lambda\cdot w$[/tex]

Il caso che dici tu, Sergio, in cui il [tex]$\lambda$[/tex]-autospazio ha dimensione maggiore di $2$, si tratta facilmente. Se avesse dimensione 2, preso un vettore dell'autospazio
[tex]$v=a_1v_1+a_2v_2$[/tex] applicando [tex]$T$[/tex] (e supponendo, per non ricadere nel caso banale, [tex]$a_1,a_2 \not= 0$[/tex])

[tex]$T(v)=T(a_1v_1+a_2v_2)=a_1\lambda v_1+a_2\lambda v_2=\lambda\cdot (a_1v_1+a_2v_2)$[/tex]

Insomma, la combinazione lineare di autovettori appartenenti allo stesso autospazio è autovettore, quindi il problema non si pone.

[mtx4]

ragazzi, continua a non essermi chiaro cosa si intenda per dimensione del sistema uguale ad 1, se non siete convinti voi, figuriamoci io

non ho chiaro invece come risolvere l'esercizio sugli autovettori, proposto in prima pagina, avevo abbozzato un ragionamento, potete verificarne la veridicità??

[misanino]

"mtx4":ragazzi, continua a non essermi chiaro cosa si intenda per dimensione del sistema uguale ad 1, se non siete convinti voi, figuriamoci io

non ho chiaro invece come risolvere l'esercizio sugli autovettori, proposto in prima pagina, avevo abbozzato un ragionamento, potete verificarne la veridicità??

Facciamo una cosa:
posta direttamente i testi degli esercizi, invece che fare domande generali, così è anche più facile per noi spiegarti come si procede.

[mtx4]

Il testo del primo esercizio è semplice, però avevo commesso un errore imperdonabile che ha destato questi dubbi
dato un sistema lineare, per quali valori di k la varietà delle soluzioni ha dimensione 1??
in termini di rango come si procede??

l'altro eserczio è così fatto, ma non ho i dati
sia $A$ una matrice $5x5$ (nota) associata ad un endomorfismo, senza alcun parametro, matrice normalissima di numeri naturali
abbiamo alcuni vettori v(1,2,5,6,9); v2( 3,6,7,2,5) ecc ad esempio
ci chiediamo se questi vettori siano autovettori
come devo procedere??

questi sono gli ultimi due dubbi, almeno spero, prima dell'esame di lunedì
grazie

[misanino]

"mtx4":Il testo del primo esercizio è semplice, però avevo commesso un errore imperdonabile che ha destato questi dubbi
dato un sistema lineare, per quali valori di k la varietà delle soluzioni ha dimensione 1??
in termini di rango come si procede??

l'altro eserczio è così fatto, ma non ho i dati
sia $A$ una matrice $5x5$ (nota) associata ad un endomorfismo, senza alcun parametro, matrice normalissima di numeri naturali
abbiamo alcuni vettori v(1,2,5,6,9); v2( 3,6,7,2,5) ecc ad esempio
ci chiediamo se questi vettori siano autovettori
come devo procedere??

questi sono gli ultimi due dubbi, almeno spero, prima dell'esame di lunedì
grazie

Il testo (questa volta corretto) del primo esercizio ribadisce soltanto quello che avevo già detto.
Vai a rileggere i miei post precedenti e c'è esattamente scritto cosa devi fare affinchè lo spazio delle soluzioni (o varietà che dir si voglia) abbia dimensione 1.

Per il secondo prendi la tua matrice A. Moltiplica tale matrice per il vettore v che devi controllare se sia o no un autovettore.
Vedi se ottieni un multiplo di v.
Se non lo ottieni non è un autovettore.
Se lo ottieni invece è un autovettore

[mtx4]

grazie molte
ho riletto, ma non capisco, deve essere:

rango(A)=rango(B) fin qui ci siamo
e
minimo(n,m)-1=rango(A)

in sostanza vuoi dire che il sistema deve essere compatibile, e che il rango della completa sia 1
non capisco cosa intendi per minimo -1

[misanino]

"mtx4":grazie molte
ho riletto, ma non capisco, deve essere:

rango(A)=rango(B) fin qui ci siamo

In sostanza voglio dire che il sistema sia compatibile (rango(A)=rango(B)) e fin qui ok.
Poi supponi di avere n incognite e n equazioni, cioè un sistema nxn, cioè una matrice A nxn.
Il rango della matrice A è sempre minore o uguale di n.
Ora se rango(A)=n allora la varietà delle soluzioni ha dimensione 0.
Se invece rango(A)=n-1 allora la varietà delle soluzioni ha dimensione 1.
Se invece rango(A)=n-2 allora la varietà delle soluzioni ha dimensione 2 eccetera eccetera.

Se invece hai un sistema mxn cioè m equazioni e n incognite allora il rango massimo della tua matrice A è il minimo tra m e n.
Come prima poi:
Se rango(A)=n allora la varietà delle soluzioni ha dimensione 0.
Se invece rango(A)=n-1 allora la varietà delle soluzioni ha dimensione 1.
Se invece rango(A)=n-2 allora la varietà delle soluzioni ha dimensione 2 eccetera eccetera.

Quindi nel tuo caso deve essere Rango(A)=n-1 dove n è il numero delle incognite (oltre che rango(A)=rango(B))

[misanino]

"Sergio":
Secondo me sbaglia, ma lo dico solo perché è sicuramente più probabile che sbagli io...
Per il teorema di Rouché-Capelli, non solo un sistema è compatibile se e solo se le due matrici hanno lo stesso rango, ma, se il sistema è compatibile, la dimensione dello spazio delle soluzioni è $n-"rango"(A)$, dove $n$ è il numero delle incognite, ovvero il numero delle colonne della matrice dei coefficienti $A$ (detta anche "incompleta").
Perché questa dimensione sia 1, si deve avere $n-"rango"(A)=1$, quindi $"rango"(A)=n-1$.

Mi sembra che misanino voglia tener conto anche del numero $m$ delle righe di $A$, ma la cosa mi pare superflua e anche sbagliata.
Infatti:
a) se $m>n$, il rango di $A$ potrà essere al più $n$, quindi $"minimo"(m,n)=n$ e si torna a quanto appena detto;
b) se $m Poniamo $m=3$ e $n=4$. Il rango di $A$ e di $A|b$ dovrebbe essere $m=3$ per avere soluzioni; in questo caso lo spazio delle soluzioni avrebbe dimensione $1$, ma la condizione $"minimo"(n,m)-1="rango"(A)$ non sarebbe rispettata, si avrebbe infatti $3-1=3$,.

Infatti avevo scritto erroneamente. Grazie
Comunque nel post che ho scritto prima del tuo avevo già chiarito tutto.