Ambiguità sulla forma di Jordan
Ciao ragazzi, scusate se questa domanda è stata già fatta ma non sono riuscito a capire dalle precedenti risposte.
Se ho una matrice 4 x 4 con un unico autovalore di molteplicità algebrica 4 e geometrica 2, in base a quale criterio capisco la grandezza di questi blocchi di Jordan?
Infatti potrei averne 2 di taglia 2 o uno di taglia 1 e uno di taglia 3.
Se è possibile, potreste spiegarmi il ragionamento e non solo l'algoritmo?
Grazie infinite
Se ho una matrice 4 x 4 con un unico autovalore di molteplicità algebrica 4 e geometrica 2, in base a quale criterio capisco la grandezza di questi blocchi di Jordan?
Infatti potrei averne 2 di taglia 2 o uno di taglia 1 e uno di taglia 3.
Se è possibile, potreste spiegarmi il ragionamento e non solo l'algoritmo?
Grazie infinite
Risposte
Ma si può con le informazioni che ci hai dato? Secondo me no. In effetti
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex] e [tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
soddisfano entrambe le tue ipotesi.
Per fare un discrimine bisogna andare a fare la conta degli autovettori generalizzati. Sia [tex]A[/tex] la tua matrice; possiamo supporre che l'unico autovalore di [tex]A[/tex] sia [tex]0[/tex]; in questa situazione basterà computare [tex]A^2[/tex] e cercare gli elementi di [tex]\ker A^2 \setminus \ker A[/tex]. Se ne troviamo due linearmente indipendenti, diciamo [tex]\mathbf v[/tex] e [tex]\mathbf w[/tex], allora [tex]\mathbf v, A \mathbf v, \mathbf w, A \mathbf w[/tex] formano una base dello spazio e corrispondono a due blocchi di Jordan di lunghezza 2; se invece ne troviamo solo uno, necessariamente avremo un blocco di lunghezza tre ed un blocco di lunghezza 1.
Ti è chiaro?
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex] e [tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
soddisfano entrambe le tue ipotesi.
Per fare un discrimine bisogna andare a fare la conta degli autovettori generalizzati. Sia [tex]A[/tex] la tua matrice; possiamo supporre che l'unico autovalore di [tex]A[/tex] sia [tex]0[/tex]; in questa situazione basterà computare [tex]A^2[/tex] e cercare gli elementi di [tex]\ker A^2 \setminus \ker A[/tex]. Se ne troviamo due linearmente indipendenti, diciamo [tex]\mathbf v[/tex] e [tex]\mathbf w[/tex], allora [tex]\mathbf v, A \mathbf v, \mathbf w, A \mathbf w[/tex] formano una base dello spazio e corrispondono a due blocchi di Jordan di lunghezza 2; se invece ne troviamo solo uno, necessariamente avremo un blocco di lunghezza tre ed un blocco di lunghezza 1.
Ti è chiaro?
Si hai ragione maurer, era proprio quello che intendevo, ovvero che servivano altre informazioni che non sapevo come ricavare.
Il fatto di supporre che l'unico autovalore sia 0 presumo che tu intenda lavorare con A - xI, con x autovalore... così quella matrice è nilpotente, è esatto?
Non ho però capito la "sottrazione" dei ker da cosa deriva. Cioè perché si fa così!
Abbi taaaanta pazienza con me, sono una testaccia dura..! =)
Il fatto di supporre che l'unico autovalore sia 0 presumo che tu intenda lavorare con A - xI, con x autovalore... così quella matrice è nilpotente, è esatto?
Non ho però capito la "sottrazione" dei ker da cosa deriva. Cioè perché si fa così!
Abbi taaaanta pazienza con me, sono una testaccia dura..! =)
Sì, fai la sottrazione [tex]A - \lambda I[/tex] dove [tex]\lambda[/tex] è il tuo unico autovalore.
Supponiamo allora che [tex]A[/tex] sia nilpotente. Il punto è che se [tex]\mathbf v \in \ker A^2 \setminus \ker A[/tex] allora [tex]A^2 \mathbf v = \mathbf 0[/tex] e quindi [tex]A ( A \mathbf v) = \mathbf 0[/tex], da cui banalmente [tex]A \mathbf v \in \ker A[/tex] (e, per come abbiamo scelto il vettore, [tex]A \mathbf v \ne \mathbf 0[/tex]). Inoltre, si dimostra che in queste situazioni [tex]\mathbf v, A\mathbf v, A^2 \mathbf v, \ldots, A^k \mathbf v[/tex] sono linearmente indipendenti, dove [tex]k[/tex] è il massimo esponente per cui [tex]A^k \mathbf v \ne \mathbf 0[/tex].
Ora se [tex]\mathbf v[/tex] e [tex]\mathbf w[/tex] sono elementi di [tex]\ker A^2 \setminus \ker A[/tex] e sono tali che [tex]A \mathbf v[/tex] e [tex]A \mathbf w[/tex] sono linearmente indipendenti, necessariamente [tex]\mathbf v, A \mathbf v, \mathbf w, A \mathbf w[/tex] continuano ad essere linearmente indipendenti (anche questo va dimostrato, chiaramente, ma funziona in modo del tutto generale). Pertanto abbiamo quattro vettori linearmente indipendenti, ossia una base del nostro spazio.
D'altronde, sappiamo anche che se [tex]\mathbf v[/tex] è un autovettore generalizzato di periodo [tex]k[/tex], allora a [tex]\mathbf v, A \mathbf v, \ldots, A^k \mathbf v[/tex] corrisponde un blocco di Jordan di lunghezza [tex]k[/tex] (questo lo vedi a mano, facendo i conti e prendendo quel sistema di vettori come base del sottospazio da essi generato). Quindi, nel nostro caso: se abbiamo due autovettori linearmente indipendenti abbiamo due blocchi di lunghezza 2; se invece troviamo un solo autovettore generalizzato, allora la forma 2 + 2 non è ammissibile e quindi deve essere 3 + 1.
Infine, il metodo pratico: abbiamo detto che ci interessa il numero massimo degli elementi di [tex]\ker A^2 \setminus \ker A[/tex] che proiettati su [tex]\ker A[/tex] rimangono linearmente indipendenti. Se ci pensi, questo numero deve essere la dimensione del quoziente [tex]\ker A^2 / \ker A[/tex] e quindi deve avere dimensione [tex]\text{dim} \ker A^2 - \text{dim} \ker A[/tex]. Ma [tex]\text{dim} \ker A^2 = 4 - \text{rank}(A^2)[/tex] e [tex]\text{dim} \ker A = 4 - \text{rank} A[/tex], sicché alla fine dobbiamo considerare [tex]\text{rank} A - \text{rank} A^2[/tex]. Se questo numero è 2, avremo due blocchi di lunghezza 2, se questo numero è 1 avremo un blocco di lunghezza 3 e uno di lunghezza 1.
Più in generale (se ci pensi ragionando come ho fatto adesso è piuttosto ovvio) [tex]\text{rank} A^k - \text{rank} A^{k-1}[/tex] conta il numero di blocchi di lunghezza maggiore o uguale a [tex]k[/tex].
Spero di essere stato chiaro. Ti darei un link ad un pdf che spiega queste cose in maniera superba, ma il sito dove si trova è momentaneamente inagibile. Proverò più tardi.
Supponiamo allora che [tex]A[/tex] sia nilpotente. Il punto è che se [tex]\mathbf v \in \ker A^2 \setminus \ker A[/tex] allora [tex]A^2 \mathbf v = \mathbf 0[/tex] e quindi [tex]A ( A \mathbf v) = \mathbf 0[/tex], da cui banalmente [tex]A \mathbf v \in \ker A[/tex] (e, per come abbiamo scelto il vettore, [tex]A \mathbf v \ne \mathbf 0[/tex]). Inoltre, si dimostra che in queste situazioni [tex]\mathbf v, A\mathbf v, A^2 \mathbf v, \ldots, A^k \mathbf v[/tex] sono linearmente indipendenti, dove [tex]k[/tex] è il massimo esponente per cui [tex]A^k \mathbf v \ne \mathbf 0[/tex].
Ora se [tex]\mathbf v[/tex] e [tex]\mathbf w[/tex] sono elementi di [tex]\ker A^2 \setminus \ker A[/tex] e sono tali che [tex]A \mathbf v[/tex] e [tex]A \mathbf w[/tex] sono linearmente indipendenti, necessariamente [tex]\mathbf v, A \mathbf v, \mathbf w, A \mathbf w[/tex] continuano ad essere linearmente indipendenti (anche questo va dimostrato, chiaramente, ma funziona in modo del tutto generale). Pertanto abbiamo quattro vettori linearmente indipendenti, ossia una base del nostro spazio.
D'altronde, sappiamo anche che se [tex]\mathbf v[/tex] è un autovettore generalizzato di periodo [tex]k[/tex], allora a [tex]\mathbf v, A \mathbf v, \ldots, A^k \mathbf v[/tex] corrisponde un blocco di Jordan di lunghezza [tex]k[/tex] (questo lo vedi a mano, facendo i conti e prendendo quel sistema di vettori come base del sottospazio da essi generato). Quindi, nel nostro caso: se abbiamo due autovettori linearmente indipendenti abbiamo due blocchi di lunghezza 2; se invece troviamo un solo autovettore generalizzato, allora la forma 2 + 2 non è ammissibile e quindi deve essere 3 + 1.
Infine, il metodo pratico: abbiamo detto che ci interessa il numero massimo degli elementi di [tex]\ker A^2 \setminus \ker A[/tex] che proiettati su [tex]\ker A[/tex] rimangono linearmente indipendenti. Se ci pensi, questo numero deve essere la dimensione del quoziente [tex]\ker A^2 / \ker A[/tex] e quindi deve avere dimensione [tex]\text{dim} \ker A^2 - \text{dim} \ker A[/tex]. Ma [tex]\text{dim} \ker A^2 = 4 - \text{rank}(A^2)[/tex] e [tex]\text{dim} \ker A = 4 - \text{rank} A[/tex], sicché alla fine dobbiamo considerare [tex]\text{rank} A - \text{rank} A^2[/tex]. Se questo numero è 2, avremo due blocchi di lunghezza 2, se questo numero è 1 avremo un blocco di lunghezza 3 e uno di lunghezza 1.
Più in generale (se ci pensi ragionando come ho fatto adesso è piuttosto ovvio) [tex]\text{rank} A^k - \text{rank} A^{k-1}[/tex] conta il numero di blocchi di lunghezza maggiore o uguale a [tex]k[/tex].
Spero di essere stato chiaro. Ti darei un link ad un pdf che spiega queste cose in maniera superba, ma il sito dove si trova è momentaneamente inagibile. Proverò più tardi.
Grazie mille sei stato chiarissimo. Proverò a convincermene, se qualcosa non mi torna spero di ritrovarti!
Nel frattempo ancora grazie!
Nel frattempo ancora grazie!
Sì, tranquillo, non scappo!
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