Altro problema geometria

[Raphael1]

Scusatemi ma mi sento molto stupido... perchè non riesco a risolvere nessun problema oggi:

sentite qui: Siano $A,B,C$ tre punti linearmente indipendenti sulla sfera $S^2$. Dimostrare che per ogni quarto punto $P$ sulla sfera, le distanze $PA,PB,PC$ determinano il punto.

Io avevo pensato di procedere così: Supponiamo che esistano due punti $P_1 neq P_2$ tali che $P_1A=P_2A, P_1B=P_2B, P_1C=P_2C$. Essendo $A,B,C$ linearmente indipendenti, esistono $lambda_1, mu_1, nu_1, lambda_2, mu_2, nu_2 in mathbb{R}$ tali che $P_1=lambda_1A+mu_1B+nu_1C, P_2=lambda_2A+mu_2B+nu_2C$. Adesso considero il fatto che le distaze sono uguali e, poichè sulla sfera la distaza tra due punti $L,M$ è data dalla formula $LM=arccos$, ottengo a sistema le seguenti tre equazioni:

$<(lambda_1-lambda_2)A+(mu_1-mu_2)B+(nu_1-nu_2)C,A>=0$
$<(lambda_1-lambda_2)A+(mu_1-mu_2)B+(nu_1-nu_2)C,B>=0$
$<(lambda_1-lambda_2)A+(mu_1-mu_2)B+(nu_1-nu_2)C,C>=0$

bene.... e adesso dove è l'assurdo? magari è un procedimento che non ha senso... ma credevo potesse portare a qualcosa!

[Raphael1]

scusate nelle ultime equazioni è venuto fuori $>=$ ma doveva essere $>$$=0$. Ah e questa parte di esercizio dovrebbe essere utilizzata per dimostrare che ogni isometria sulla sfera può essere ottenuta da un'isometria nello spazio euclideo restringendola alla sfera, non ho nessuna idea a riguardo... aiuto vi prego!!!

[Raphael1]

nessuno mi sa aiutare?