Altro esercizio sui polinomi minimi

[gloria19881]

Allora ora che ho assodato le nozioni di forme canoniche razionali e di Jordan voglio postare questo esercizio.
a) Sia A $in$ $Mat_2$($Z_2$) tale che $A^4$ $=$ $I$. Si dimostri che $A^2$ $=$ $I$.

$min(A)$ $|$ $x^4$$-$$1$

$x^4$$-$$1$=($x^2$$-$$1$)($x^2$$+$$1$)

$min(A)$ può avere grado 1 oppure grado 2.

se $deg(min(A))$$=$$1$:

-$min(A)$$=$$x$

o

-$min(A)$$=$$x$$+$$1$

Arrivata a questo punto non so piu come procedere...
Grazie mille!


se $deg(min(A))$$=$$2$:

-$min(A)$$=$$x^2$

-$min(A)$$=$$x^2$$+$$1$

-$min(A)$$=$$x^2$$+$$x$$+$$1$

- $min(A)$$=$$x^2$$+$$x$$

[cirasa]

Ricordati che il campo è $ZZ_2$ dove ci sono proprietà particolari.
Per esempio
$x^2+1=x^2-1=(x+1)^2$ (perchè?)
Pertanto se $min(A)$ è il polinomio minimo di $A$, si ha che $min(A)$ divide $(x-1)^4$.
Pertanto come può essere il polinomio minimo di $A$?

[gloria19881]

Grazie a tutti per l'aiuto che mi avete dato con questi esercizi di algebra!!!Ho passato tranquillamente lo scritto di approfondimenti di Algebra e ora procedo con lo studio dell'orale!!!!Grazieeeeeeeeeee in particolare a Cirasa e BlackBsho13!!!

[cirasa]

Prego!