Altri esercizi su geometria euclidea nello spazio
Ecco altri esercizi di cui mi servirebbe la risoluzione per poter capire da dove partire a fare gli altri:
1)Si consideri la famiglia di quadriche F: (x-y-z)(x-y+2z) +k(-x+y)=0 con k parametro reale.
Si studi la natura di F al variare di k e si provi che per k=1 viene un cilindro, determinandone le coordinate proiettive del vertice. Si provi che il piano x+y=1 seziona il cilindro secondo un'iperbole.
2)Si studi la quadrica Q di equazione 5x^2 + y^2 +4xy -2yz +8x +4y -4z +4 = 0.
Si provi che la sezione di Q con il piano 2x-z+1=0 è una circonferenza e si calcoli centro e raggio.
Come sono le sezioni di Q con i piani paralleli a quello dato? Q è di rotazione?
3)Sono dati la quadrica Q: x^2+4y^2=4z e il fascio improprio di piani F: x+3y-z+k=0. Si riconosca Q e se possibile si determino i due regoli di Q. Si verifichi analiticamente che i piani del fascio F sezionano Q secondo coniche aventi i centri sulla medesima retta.
4)Si consideri la famiglia di rette F: (1+t)x + 2tz -2= tx-y+z al variare del parametro reale t. Si verifichi che le rette di F sono a due a due sghembe.
Si determini l'equazione cartesiana della superficie Q descritta dalle rette di F e la si riconosca.
SI provi che il piano x-y=0 seziona Q secondo un'iperbole della quale si richiedono le coordinate dei punti impropri.
5) Sia Q la superficie data da: x=u+v; y=2uv; z=v.
Se possibile se ne determini una rappresentazione cartesiana.
Si provi che il piano 2x+z-1=0 non è tangente a Q.
Si provi che Q intersecata al piano è una parabola della quale si richiede la direzione dell'asse.
1)Si consideri la famiglia di quadriche F: (x-y-z)(x-y+2z) +k(-x+y)=0 con k parametro reale.
Si studi la natura di F al variare di k e si provi che per k=1 viene un cilindro, determinandone le coordinate proiettive del vertice. Si provi che il piano x+y=1 seziona il cilindro secondo un'iperbole.
2)Si studi la quadrica Q di equazione 5x^2 + y^2 +4xy -2yz +8x +4y -4z +4 = 0.
Si provi che la sezione di Q con il piano 2x-z+1=0 è una circonferenza e si calcoli centro e raggio.
Come sono le sezioni di Q con i piani paralleli a quello dato? Q è di rotazione?
3)Sono dati la quadrica Q: x^2+4y^2=4z e il fascio improprio di piani F: x+3y-z+k=0. Si riconosca Q e se possibile si determino i due regoli di Q. Si verifichi analiticamente che i piani del fascio F sezionano Q secondo coniche aventi i centri sulla medesima retta.
4)Si consideri la famiglia di rette F: (1+t)x + 2tz -2= tx-y+z al variare del parametro reale t. Si verifichi che le rette di F sono a due a due sghembe.
Si determini l'equazione cartesiana della superficie Q descritta dalle rette di F e la si riconosca.
SI provi che il piano x-y=0 seziona Q secondo un'iperbole della quale si richiedono le coordinate dei punti impropri.
5) Sia Q la superficie data da: x=u+v; y=2uv; z=v.
Se possibile se ne determini una rappresentazione cartesiana.
Si provi che il piano 2x+z-1=0 non è tangente a Q.
Si provi che Q intersecata al piano è una parabola della quale si richiede la direzione dell'asse.
Risposte
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
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